latex/problems/Serway_and_Jewett_8/problem31.45.tex

   1 \begin{problem*}{31.45}
   2 A circular coil enclosing an area $A=0.0100\U{m$^2$}$ is made of $200$
   3 turns of copper wire as shown in Figure~P31.45.  Initially, a uniform
   4 magnetic field of magnitude $B=1.10\U{T}$ points upward in a direction
   5 perpendicular to the plane of the coil.  The direction of the field
   6 then reverses in a time interval $\Delta t$.  Determine how much
   7 charge enters one end of the resistor during this time interval if
   8 $R=5.00\U{Ohm}$.
   9 \begin{center}
  10 % B ^ ^ ^
  11 %   | | |  (from back of coil)
  12 %   +-+-+---+
  13 %   +-+-+   Z R
  14 %   +-+-+   Z
  15 %   +-+-+---+
  16 %   | | |  (from font of coil)
  17 \begin{asy}
  18 import Mechanics;
  19 import ElectroMag;
  20 import Circ;
  21
  22 real dx = 5mm;
  23 real r = 5mm;
  24 int n = 10;      // number of coil loops
  25 real tense = 8;  // increasing tension flattens the coil loops
  26
  27 MultiTerminal R = resistor(dir=90, Label("$R$", align=E));
  28 real rlen = R.terminal[1].y - R.terminal[0].y;
  29 real xr = R.center.x - dx;
  30 real xl = xr - 2*r;
  31 real dy = rlen / n;
  32 for (int i = 0; i < n; i += 1) {  // back sides of coil
  33   pair dout = S;
  34   if (i == n-1) {
  35     dout = E;
  36   }
  37   real y0 = R.terminal[0].y + i * dy;
  38   draw((xl, y0 + dy/2){N}..tension tense ..{dout}(xr, y0 + dy));
  39 }
  40 Vector B = BField(dir=90);
  41 B.outline += linewidth(0.5mm);
  42 vector_field(((xl+xr)/2, R.center.y+rlen/3), width=2*r, height=2*rlen, v=B);
  43 for (int i = 0; i < n; i += 1) {  // front sides of coil
  44   pair din = S;
  45   if (i == 0) {
  46     din = W;
  47   }
  48   real y0 = R.terminal[0].y + i * dy;
  49   draw((xr, y0){din}..tension tense ..{N}(xl, y0 + dy/2));
  50 }
  51 draw((xr, R.terminal[0].y) -- R.terminal[0]);
  52 draw((xr, R.terminal[1].y) -- R.terminal[1]);
  53 \end{asy}
  54 \end{center}
  55 \end{problem*}
  56
  57 \begin{solution}
  58 Picking up as the positive flux direction, the induced \EMF\ is
  59 \begin{equation}
  60   \EMF = -\deriv{t}{\Phi_B} = -\deriv{t}{NAB} = -NA\deriv{t}{B}
  61     = -NA\frac{-2B}{\Delta t} = \frac{2NAB}{\Delta t} \;.
  62 \end{equation}
  63 This \EMF\ drives a current through the resistor
  64 \begin{align}
  65   0 &= \EMF - IR \\
  66   I &= \frac{\EMF}{R} = \frac{-2NAB}{R\Delta t} \;.
  67 \end{align}
  68 Current is defined as the charge passing through a cross section of
  69 your circuit per unit time, so the charge entering one end of the
  70 resistor is
  71 \begin{equation}
  72   \Delta q = \frac{\Delta q}{\Delta t} \Delta t = I \Delta t
  73     = \frac{2NAB}{R} = \ans{0.880\U{C}} \;.
  74 \end{equation}
  75 \end{solution}