latex/problems/Serway_and_Jewett_8/problem31.31.tex

   1 \begin{problem*}{31.31}
   2 Two parallel rails with negligable resistance are $10.0\U{cm}$ apart
   3 and are connected by a resistor of resistance $R_3=5.00\U{\Ohm}$.  The
   4 circuit also contains two metal rods having resistances of
   5 $R_1=10.0\U{\Ohm}$ and $R_2=15.0\U{\Ohm}$ sliding along the rails
   6 (Fig.~P31.31).  The rods are pulled away from the resistor at constant
   7 speeds of $v_1=4.00\U{m/s}$ and $v_2=2.00\U{m/s}$, respectively.  A
   8 uniform magnetic field of magnitude $B=0.0100\U{T}$ is applied
   9 perpendicular to the plane of the rails.  Determine the current in
  10 $R_3$.
  11 \begin{center}
  12 % --+-----+-----+--
  13 % x | x x Z x x | x
  14 % <-| x x ZR3 x |->
  15 % v1| x x Z x x |v2
  16 % --+-----+-----+--
  17 %   R1            R2
  18 \begin{asy}
  19 import Mechanics;
  20 import ElectroMag;
  21 import Circ;
  22
  23 real u = 1cm;
  24 real w = 1mm;
  25
  26 MultiTerminal R3 = resistor(dir=90, "$R_3$", draw=false);
  27 real rlen = R3.terminal[1].y - R3.terminal[0].y;
  28 Vector B = BField(phi=-90);
  29 vector_field(R3.center, width=3*u, height=rlen, v=B);
  30 R3.draw();
  31 real yt = R3.terminal[1].y;
  32 real yb = R3.terminal[0].y;
  33 wire((-1.5*u, yt), (1.5*u, yt));
  34 wire((-1.5*u, yb), (1.5*u, yb));
  35 dot(R3.terminal[0]);
  36 dot(R3.terminal[1]);
  37 pair p1 = (-u,(yt+yb)/2);
  38 Vector v1 = Velocity(p1, dir=180, "$v_1$");  v1.draw();
  39 Block R1 = Block(p1, width=w, height=rlen);  R1.draw();
  40 label("$R_1$", (p1.x, yb), align=S);
  41 pair p2 = (-p1.x, p1.y);
  42 Vector v1 = Velocity(p2, "$v_2$");  v1.draw();
  43 Block R2 = Block(p2, width=w, height=rlen);  R2.draw();
  44 label("$R_2$", (p2.x, yb), align=S);
  45 \end{asy}
  46 \end{center}
  47 \end{problem*}
  48
  49 \begin{solution}
  50 The magnetic flux through the loop will increase as the area enclosed
  51 increases, inducing \EMF\ in each rod.
  52 \begin{align}
  53   \EMF_1 &= BLv_1 = 4.00\U{mV} \\
  54   \EMF_2 &= BLv_2 = 2.00\U{mV} \;.
  55 \end{align}
  56 The direction of the induced \EMF{}s will try to resist the increasing
  57 flux, so $\EMF_1$ will be directed downward and $\EMF_2$ will be
  58 directed upward.  The situation is then equivalent to the following
  59 circuit:
  60 \begin{center}
  61 \begin{asy}
  62 import Circ;
  63
  64 real u = 1cm;
  65
  66 MultiTerminal V1 = source(dir=-90, type=DC, Label("$\EMF_1$", align=W));
  67 MultiTerminal R1 = resistor(V1.terminal[1], dir=-90, Label("$R_1$", align=W));
  68 MultiTerminal R3 = resistor(dir=90, "$R_3$", draw=false);
  69 R3.centerto(V1.terminal[0], R1.terminal[1], offset=u);  R3.draw();
  70 MultiTerminal V2 = source(R1.terminal[1] + (2*u, 0), dir=90, type=DC,
  71     Label("$\EMF_2$", align=E));
  72 MultiTerminal R2 = resistor(V2.terminal[1], dir=90, Label("$R_2$", align=E));
  73 wire(V1.terminal[0], R2.terminal[1]);
  74 wire(R1.terminal[1], V2.terminal[0]);
  75 pair top = (R3.center.x, V1.terminal[0].y);
  76 pair bot = (top.x, R1.terminal[1].y);
  77 wire(top, R3.terminal[0]);
  78 wire(bot, R3.terminal[1]);
  79 dot(top);
  80 dot(bot);
  81 \end{asy}
  82 \end{center}
  83 Solve this circuit using the usual Kirchhoff approach.  Label the
  84 current through the three branches $I_1$, $I_2$, and $I_3$ each
  85 pointing up, and you have
  86 \begin{align}
  87   I_1 + I_2 + I_3 &= 0 \\
  88   \EMF_1 + I_1 R_1 - I_3 R_3 &= 0 \\
  89   \EMF_2 - I_2 R_2 + I_3 R_3 &= 0 \;.
  90 \end{align}
  91 This gives three equations with three unknowns.  Solve using your
  92 favorite method.
  93 \begin{align}
  94  \begin{pmatrix}
  95   0 \\
  96   \EMF_1 \\
  97   \EMF_2
  98  \end{pmatrix}
  99   &=
 100  \begin{pmatrix}
 101   1\U{\Ohm} & 1\U{\Ohm} & 1\U{\Ohm} \\
 102   -R_1 & 0 & R_3 \\
 103   0 & R_2 & -R_3
 104  \end{pmatrix}
 105  \begin{pmatrix}
 106   I_1 \\
 107   I_2 \\
 108   I_3
 109  \end{pmatrix} \\
 110  \begin{pmatrix}
 111   I_1 \\
 112   I_2 \\
 113   I_3
 114  \end{pmatrix}
 115   =&
 116  \begin{pmatrix}
 117   1\U{\Ohm} & 1\U{\Ohm} & 1\U{\Ohm} \\
 118   -R_1 & 0 & R_3 \\
 119   0 & R_2 & -R_3
 120  \end{pmatrix}^{-1}
 121  \begin{pmatrix}
 122   0 \\
 123   \EMF_1 \\
 124   \EMF_2
 125  \end{pmatrix}
 126   =
 127  \begin{pmatrix}
 128   -327 \\
 129   182 \\
 130   145
 131  \end{pmatrix} \U{$\mu$A}
 132  \;.
 133 \end{align}
 134 Therefore, \ans{$I_3=145\U{$\mu$A}$ upwards}.
 135 \end{solution}