latex/problems/Serway_and_Jewett_8/problem24.21.tex

   1 \begin{problem*}{24.21}
   2 Figure~P24.21 represents the top view of a cubic gaussian surface in a
   3 uniform electric field \vect{E} oriented parallel to the top and
   4 bottom faces of the cube.  The field makes an angle $\theta$ with side
   5 $a$, and the area of each face is $A$.  In sumbolic form, find the
   6 electric flux through \Part{a} face $a$, \Part{b} face $b$, \Part{c}
   7 face $c$, \Part{d} face $d$, and \Part{e} the top and bottom faces of
   8 the cube.  \Part{f} What is the net electric flux through the
   9 cube?  \Part{g} How much charge is enclosed within the gaussian
  10 surface?
  11 \begin{center}
  12 %           ^
  13 %    a      E\th|
  14 %  d   b      \ |
  15 %    c         \|
  16 \begin{asy}
  17 import Mechanics;
  18 import ElectroMag;
  19
  20 real u = 1cm;
  21 real theta = 90 + 25;
  22
  23 vector_field(width=2.4u, height=2.4u, EField(dir=theta));
  24 draw(scale(2*u)*shift((-0.5,-0.5))*unitsquare, dashed);
  25 label("$a$", (0,u), align=N);
  26 label("$b$", (u,0), align=E);
  27 label("$c$", (0,-u), align=S);
  28 label("$d$", (-u,0), align=W);
  29 pair c = (u,-0.35u);
  30 Angle a = Angle(c+(0,1), c, c+dir(theta), fill=currentpen, L="$\theta$");
  31 a.draw();
  32 \end{asy}
  33 \end{center}
  34 \end{problem*}
  35
  36 \begin{solution}
  37 The electric flux through a surface $S$ is
  38 \begin{equation}
  39   \Phi_{ES} = \int_S \vect{E}\cdot\vect{\dd A} = \int_S E \dd A\cos(\theta) \;.
  40 \end{equation}
  41 Where $\theta$ is the angle between \vect{E} and the perpendicular
  42 \vect{\dd A}.  For a uniform field and flat surface, $E$ and $\theta$
  43 are constants, so we can pull them of the integral:
  44 \begin{equation}
  45   \Phi_{ES} = E\cos(\theta)\int_S \dd A = EA\cos(\theta) \;.
  46 \end{equation}
  47 For this problem, that means we only need to find the appropriate
  48 expression for $\cos(\theta)$ to solve each part.
  49
  50 \begin{align}
  51   \Phi_{Ea} &= \ans{EA\cos(\theta)} \\
  52   \Phi_{Eb} &= \ans{-EA\sin(\theta)} \\
  53   \Phi_{Ec} &= \ans{-EA\cos(\theta)} \\
  54   \Phi_{Ed} &= \ans{EA\sin(\theta)} \\
  55   \Phi_{E\text{top}} &= \ans{0} \\
  56   \Phi_{E\text{bottom}} &= \ans{0} \;
  57 \end{align}
  58
  59 \Part{f}
  60 Summing the flux through each face (above), we have
  61 \begin{equation}
  62   \Phi_E = EA\cos(\theta) - EA\sin(\theta) - EA\cos(\theta) + EA\sin(\theta)
  63     + 0 + 0 = \ans{0} \;.
  64 \end{equation}
  65 In other words, all the flux that comes into one part of the cube goes
  66 out through some other part of the cube.
  67
  68 \Part{g}
  69 From Gauss's law,
  70 \begin{align}
  71   \Phi_E &= \frac{q_\text{in}}{\varepsilon_0} \\
  72   q_\text{in} &= \Phi_E \varepsilon_0 = \ans{0} \;.
  73 \end{align}
  74 \end{solution}