latex/problems/Serway_and_Jewett_8/problem23.59.tex

   1 \begin{problem*}{23.59}
   2 A charged cork ball of mass $1.00\U{g}$ is suspended on a light string
   3 in the presence of a uniform electric field as shown in Figure~P23.59.
   4 When $\vect{E}=(3.00\ihat+5.00\jhat)\E{5}\U{N/C}$, the ball is in
   5 equilibrium at $\theta=37.0\dg$.  Find \Part{a} the charge on the ball
   6 and \Part{b} the tension in the string.
   7 \end{problem*}
   8
   9 \begin{solution}
  10 \Part{a}
  11 Drawing a free-body diagram for the ball,
  12 \begin{center}
  13 \begin{asy}
  14 import Mechanics;
  15 import ElectroMag;
  16
  17 real theta = 37;
  18 real E_x = 3cm / 8;
  19 real E_y = 5cm / 8;
  20 real L = 2cm;
  21
  22 real x = L*Sin(theta);
  23 real y = -L*Cos(theta);
  24 real E_mag = length((E_x, E_y));
  25 real E_dir = degrees((E_x, E_y));
  26 real T_mag = E_x/Sin(theta);
  27 real G_mag = E_y+E_x/Tan(theta);
  28
  29 draw((x,y)--(0,0));
  30 draw((0,y)--(0,0), dashed);
  31 dot((0,0));
  32
  33 Angle t = Angle((0,y), (0,0), (x,y), "$\theta$");
  34 t.draw();
  35
  36 Charge a = pCharge((x,y));
  37
  38 Vector T = Vector(a.center(), mag=T_mag, dir=90+theta, "$T$");
  39 T.draw();
  40 Vector G = Vector(a.center(), mag=G_mag, dir=-90, "$mg$");
  41 G.draw();
  42 Vector E = Vector(a.center(), mag=E_mag, dir=E_dir, "$F_E$");
  43 E.draw();
  44
  45 a.draw();
  46
  47 draw_ijhat((-0.7*x,y));
  48 \end{asy}
  49 \end{center}
  50
  51 Balancing forces on the ball,
  52 \begin{align}
  53   0 &= \sum F_x = qE_x - T\sin(\theta) \\
  54   T &= \frac{qE_x}{\sin(\theta)} \\
  55   0 &= \sum F_y = qE_y + T\cos(\theta) - mg
  56     = qE_y + \frac{qE_x}{\sin(\theta)}\cos(\theta) - mg
  57     = qE_y + qE_x\cot(\theta) - mg \\
  58   q [E_y + E_x\cot(\theta)] &= mg \\
  59   q &= \frac{mg}{E_y + E_x\cot(\theta)}
  60     = \ans{1.09\E{-8}\U{C} = 10.9\U{nC}} \;.
  61 \end{align}
  62
  63 \Part{b}
  64 Plugging back in for $T$,
  65 \begin{equation}
  66   T = \frac{qE_x}{\sin(\theta)} = \ans{5.44\U{mN}} \;.
  67 \end{equation}
  68
  69 \end{solution}