latex/problems/Serway_and_Jewett_8/problem08.22.tex

   1 \begin{problem*}{8.22}
   2 The coefficient of friction between the block of mass $m_1=3.00\U{kg}$
   3 and the surface in Figure~P8.22 is $\mu_s=0.400$.  The system starts
   4 from rest.  What is the speed of the bal of mass $m_2=5.00\U{kg}$ when
   5 it has fallen a distance $h=1.50\U{m}$?
   6 % m1-block-on-table -- pulley -- hanging m2
   7 \end{problem*}
   8
   9 \begin{solution}
  10 Because they are linked by a taut string, the blocks will move at the
  11 same speed.  Therefore, $m_1$ drags a distance $h$ across the table,
  12 loosing
  13 \begin{equation}
  14   \Delta E_\text{int} = -W_f = -\mu_k mgh\cos(180\dg) = \mu_k mgh
  15 \end{equation}
  16 to friction.
  17
  18 Conserving energy
  19 \begin{align}
  20   E_i &= E_f \\
  21   K_{1i} + U_{1i} + K_{2i} + U{2i}
  22     &= K_{1f} + U_{1f} + K_{2f} + U{2f} + E_\text{int} \\
  23   0 + 0 + 0 + 0
  24     &= \frac{1}{2} m_1 v_f^2 + 0
  25        + \frac{1}{2} m_2 v_f^2 - m_2 gh + \mu_k m_1 gh \\
  26   (m_2-\mu_k m_1) gh &= \frac{m_1+m_2}{2} v_f^2 \\
  27   v_F^2 &= 2gh\frac{m_2-\mu_k m_1}{m_1+m_2} \\
  28   v_f &= \pm\sqrt{2gh\frac{m_2-\mu_k m_1}{m_1+m_2}}
  29     = \sqrt{2gh\frac{m_2-\mu_k m_1}{m_1+m_2}}
  30     = \ans{3.74\U{m/s}}
  31 \end{align}
  32 where we dropped the $\pm$ because we only want the magnitude of the
  33 velocity, not its direction.
  34 \end{solution}