latex/problems/Serway_and_Jewett_8/problem05.30.tex

   1 \begin{problem*}{5.30}
   2 Two objects are connected by a light string that passes over a
   3 frictionless pulley as shown in Figure~P5.30.  Assume the incline is
   4 frictionless and take $m_1=2.00\U{kg}$, $m_2=6.00\U{kg}$, and
   5 $\theta=55.0\dg$.  \Part{a} Draw free-body diagrams of both objects.
   6 Find \Part{b} the magnitude of the acceleration of the
   7 objects, \Part{c} the tension in the string, and \Part{d} the speed of
   8 each object $2.00\U{s}$ after it is released from rest.
   9 \begin{center}
  10 \begin{asy}
  11 import Mechanics;
  12
  13 real u = 1cm;
  14
  15 real theta = 55.0;  // ramp angle in degrees
  16 real w = 2u;        // width of ramp base
  17
  18 // ramp corners
  19 pair botL = (0, 0);
  20 pair botR = (w, 0);
  21 pair top = (0, w*Tan(theta));
  22
  23 real a = u;       // diameter of m_1, side length of m_2
  24 real dx = 0.1u;   // narrow sliver separating m_1 from wedge wall
  25 real pr = a/4;    // pulley radius
  26 real psw = 0.2u;  // pulley support width
  27
  28 Surface s = Surface((botL - (0.2w + a + dx, 0)), botR + (0.2w, 0));
  29
  30 Angle A = Angle(botL, botR, top, "$\theta$");
  31
  32 Mass m1 = Mass(top - (a/2 + dx, 1.5a), radius=a/2, "$m_1$");
  33 pair m2bot = (top+botR)/2;
  34 pair m2perp = rotate(-90)*dir(top-botR);
  35 Block m2 = Block(
  36     m2bot + a/2*m2perp, width=a, height=a, direction=-theta, "$m_2$");
  37
  38 pair ropecross = extension(m1.center(), m1.center()+N,
  39                            m2.center, m2.center+(top-botR));
  40 pair pulley = ropecross + (pr, -pr/Tan(theta/2));
  41
  42 s.draw();
  43
  44 // pulley support
  45 draw(pulley -- (pulley + 1.3(top-pulley)), psw+currentpen);
  46
  47 filldraw(botL -- botR -- top -- cycle, fillpen=rgb(0.8,0.8,0.3));
  48 A.draw();
  49
  50 draw(m1.center() -- (m1.center().x, pulley.y));
  51 draw(m2.center -- (pulley + pr*m2perp));
  52
  53 filldraw(shift(pulley)*scale(pr)*unitcircle, fillpen=white);
  54
  55 m1.draw();
  56 m2.draw();
  57 \end{asy}
  58 \end{center}
  59 \end{problem*}
  60
  61 \begin{solution}
  62 \Part{a}
  63 \begin{center}
  64 \begin{asy}
  65 import Mechanics;
  66
  67 real u = 1cm;
  68 real g = 0.2u;
  69 real theta = 55;
  70 real m1 = 2;
  71 real m2 = 6;
  72 real t = g*m1*m2/(m1+m2)*(1+Sin(theta));
  73
  74 Vector T = Force((0,0), mag=t, dir=90,
  75     L=Label("$T$", position=EndPoint, align=E));
  76 T.draw();
  77 Vector G = Force((0,0), mag=m1*g, dir=-90,
  78     L=Label("$m_1 g$", position=EndPoint, align=E));
  79 G.draw();
  80 dot("$m_1$", (0,0), W);
  81 \end{asy}
  82 \hspace{1cm}
  83 \begin{asy}
  84 import Mechanics;
  85
  86 real u = 1cm;
  87 real g = 0.2u;
  88 real theta = 55;
  89 real m1 = 2;
  90 real m2 = 6;
  91 real t = g*m1*m2/(m1+m2)*(1+Sin(theta));
  92
  93 Vector T = Force((0,0), mag=t, dir=180-theta,
  94     L=Label("$T$", position=EndPoint, align=NE));
  95 T.draw();
  96 Vector N = Force((0,0), mag=m2*g*Cos(theta), dir=90-theta,
  97     L=Label("$N$", position=EndPoint, align=E));
  98 N.draw();
  99 Vector G = Force((0,0), mag=m2*g, dir=-90,
 100     L=Label("$m_2 g$", position=EndPoint, align=E));
 101 G.draw();
 102 dot("$m_2$", (0,0), SE);
 103 \end{asy}
 104 \end{center}
 105
 106 \Part{b}
 107 Because the rope does not stretch, both objects have the same
 108 magnitude of acceleration.  Using $F=ma$ on both objects, we can solve
 109 for $a$.  $m_2$ is the heavier object, so we'll pick the positive
 110 direction to be dropping $m_2$ and raising $m_1$.
 111 \begin{align}
 112   T - m_1 g &= m_1 a \\
 113   m_2 g \sin(\theta) - T &= m_2 a \\
 114   T &= m_1 (g+a) \\
 115   m_2 g \sin(\theta) - m_1 (g+a) &= m_2 a \\
 116   g (m_2\sin(\theta) - m_1) &= a (m_1 + m_2) \\
 117   a &= g \frac{m_2\sin(\theta)-m_1}{m_1 + m_2} \\
 118     &= 9.80\U{m/s$^2$}\cdot\frac{6.00\U{kg}\cdot\sin(55.0\dg)-2.00\U{kg}}
 119                                {2.00\U{kg} + 6.00\U{kg}} \\
 120     &= \ans{3.57\U{m/s$^2$}}
 121 \end{align}
 122
 123 \Part{c}
 124 Plugging the solution for $a$ back into either of the $F=ma$
 125 equations,
 126 \begin{align}
 127   T &= m_1 (g+a)
 128     = m_1 g \p({1 +\frac{m_2\sin(\theta)-m_1}{m_1 + m_2}})
 129     = m_1 g \frac{m_1 + m_2 + m_2\sin(\theta)-m_1}{m_1 + m_2} \\
 130     &= m_1 g \frac{m_2(1+\sin(\theta))}{m_1 + m_2}
 131     = g \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}(1+\sin(\theta)) \\
 132     &= 9.80\U{m/s$^2$}\cdot\frac{2.00\U{kg} \cdot 6.00\U{kg}}
 133                                 {2.00\U{kg} + 6.00\U{kg}}
 134        \cdot(1+\sin(55.0\dg))
 135     = \ans{26.7\U{N}}
 136 \end{align}
 137
 138 \Part{d}
 139 Because the string does not stretch, the speed of both objects are the
 140 same.  Because the acceleration is constant,
 141 \begin{equation}
 142   v = a\cdot t + v_0 = a\cdot t = 3.57\U{m/s$^2$} \cdot 2.00\U{s}
 143     = \ans{7.14\U{m/s}}
 144 \end{equation}
 145 \end{solution}