latex/problems/Giancoli_6/problem19.58.tex

   1 \begin{problem*}{19.58} % internal resistance
   2 A $45\U{V}$ battery of negligable internal resistance is connected to
   3 a $38\U{k\Ohm}$ and a $27\U{k\Ohm}$ resistor in series.  What reading
   4 will a voltmeter, of internal resistance $95\U{k\Ohm}$, give when used
   5 to measure the voltage across each resistor?  What is the percent
   6 inaccuracy due to meter resistance for each case?
   7 \end{problem*}
   8
   9 \begin{solution}
  10 Case 1: \\
  11 The original situation looks like
  12 \begin{center}
  13 \begin{asy}
  14 import Circ;
  15 real u = 0.5cm;
  16 MultiTerminal B = source(dir=90, type=DC, label="$V$", value="$45\U{V}$");
  17 pair a = B.terminal[1]+(0,u);
  18 pair b = B.terminal[0]-(0,u);
  19 MultiTerminal Ra = resistor(a, label="$R_1$", value="$38\U{k\Ohm}$");
  20 MultiTerminal Rb = resistor(Ra.terminal[1], label="$R_2$",
  21     value="$27\U{k\Ohm}$");
  22 MultiTerminal I = current((Rb.terminal[1].x, (a.y+b.y)/2), dir=-90,
  23     value="$I$");
  24 wire(Rb.terminal[1], I.terminal[0], nsq);
  25 wire(I.terminal[1], b, udsq);
  26 wire(b, B.terminal[0], nsq);
  27 wire(a, B.terminal[1], nsq);
  28 \end{asy}
  29 \end{center}
  30 Using Kirchhoff's loop rule
  31 \begin{align*}
  32   V - IR_1 - IR_2 &= 0 \\
  33   I &= \frac{V}{R_1+R_2}
  34 \end{align*}
  35 so
  36 \begin{align*}
  37   V_1 &= IR_1 = \frac{VR_1}{R_1+R_2} \approx 26.3\U{V} \\
  38   V_2 &= IR_2 = \frac{VR_2}{R_1+R_2} \approx 18.7\U{V}
  39 \end{align*}
  40
  41 Case 2: \\
  42 With the voltmeter across $R_1$ we have
  43 \begin{center}
  44 \begin{asy}
  45 import Circ;
  46 real u = 0.5cm;
  47 MultiTerminal B = source((0,0), dir=90, type=DC, label="$V$",
  48     value="$45\U{V}$");
  49 pair a = B.terminal[1]+(0,u);
  50 pair b = B.terminal[0]-(0,u);
  51 MultiTerminal Ra = resistor(a, label="$R_1$", value="$38\U{k\Ohm}$");
  52 MultiTerminal Ia = current(Ra.terminal[1], label="$I_1$");
  53 MultiTerminal Rv = resistor(a+(0,4u), label="$R_v$", value="$95\U{k\Ohm}$");
  54 MultiTerminal Iv = current(Rv.terminal[1], label="$I_v$");
  55 MultiTerminal Rb = resistor(Ia.terminal[1], label="$R_2$",
  56     value="$27\U{k\Ohm}$");
  57 MultiTerminal I = current((Rb.terminal[1].x, (a.y+b.y)/2), dir=-90,
  58     label="$I_T$");
  59 wire(Rb.terminal[1], I.terminal[0], nsq);
  60 wire(I.terminal[1], b, udsq);
  61 wire(b, B.terminal[0], nsq);
  62 wire(a, B.terminal[1], nsq);
  63 wire(a, Rv.terminal[0], nsq);
  64 wire(Iv.terminal[1], Ia.terminal[1], rlsq);
  65 \end{asy}
  66 \end{center}
  67 Using our formula for resistors in parallel, we can bundle $R_v$ and $R_1$ into a single resistor $R_1'$, where
  68 $$ R_1' = \p({\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_v}})^{-1} = 27.14285714\ldots\U{k\Ohm} $$
  69
  70 Once we've done that, we have the same situation as in Case 1, but with
  71 \begin{align*}
  72   R_1 &\rightarrow R_1' \\
  73   I   &\rightarrow I_T
  74 \end{align*}
  75 so
  76 \begin{align*}
  77   V_1' &= \frac{VR_1'}{R_1'+R_2} =
  78           \frac{ V \p({\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_v}})^{-1} }
  79                { \p({\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_v}})^{-1} + R_2} \approx \ans{22.6\U{V}} \\
  80   \frac{V_1'}{V_1} &= \frac{R_1'(R_1+R_2)}{R_1(R_1'+R_2)}
  81     = \frac{ \p({\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_v}})^{-1}\cdot(R_1+R_2) }
  82            { R_1\cdot\p[{\p({\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_v}})^{-1} + R_2}] }
  83     = \frac{ \p({\frac{R_v+R_1}{R_1 R_v}})^{-1}\cdot(R_1+R_2) }
  84            { R_1\cdot\p[{\p({\frac{R_v+R_1}{R_1 R_v}})^{-1} + R_2}] }
  85     = \frac{ \frac{R_1 R_v}{R_v+R_1}\cdot(R_1+R_2) }
  86            { R_1\cdot\p({\frac{R_1 R_v}{R_v+R_1} + \frac{R_2(R_v+R_1)}{R_v+R_1}}) } \\
  87     &=\frac{ R_1 \frac{R_v (R_1+R_2)}{R_v+R_1} }
  88            { R_1\cdot\p({\frac{R_1 R_v + R_2(R_v+R_1)}{R_v+R_1}}) }
  89     = \frac{ R_v R_1 + R_v R_2 }
  90            { R_1 R_v + R_2 R_v + R_1 R_2 }
  91     = \frac{ R_v (R_1 + R_2) }
  92            { R_v (R_1 + R_2) + R_1 R_2 } \\
  93     &= 0.8575\ldots \\
  94 \end{align*}
  95 Obviously, we could plug in known numbers and solve for
  96 $\frac{V_1'}{V_1}$ after the first equality above, but crunching
  97 through some simplifying algebra reveals the pretty spectacular final
  98 form, from which you can trivially see that the fractional error in
  99 Case 3 will be the same as that for Case 2.
 100
 101 Finally the percent error is given by
 102 $$ \text{Error}_1 = 1-\frac{V_1'}{V_1} = 0.1425\ldots \approx \ans{14\%} $$
 103
 104 Case 3: \\
 105 With the voltmeter across $R_2$ we have the same situation as Case 1, but with
 106 \begin{align*}
 107   X_1 &\leftrightarrow X_2
 108 \end{align*}
 109 for any symbol $X$ (i.e. $R_1 \leftrightarrow R_2$, \ldots).
 110 However, the equation for error in $V_1'$ is not effected by this exchange, so
 111 $$ \text{Error}_2 = \text{Error}_1 \approx \ans{14\%} $$
 112 The voltage $V_2'$ measured is given by
 113 $$ V_2' = \frac{VR_2'}{R_2'+R_1} =
 114           \frac{ V \p({\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_v}})^{-1} }
 115                { \p({\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_v}})^{-1} + R_1} \approx \ans{16.0\U{V}} $$
 116 \end{solution}