latex/problems/Giancoli_6/problem19.31.tex

   1 \begin{problem*}{19.31} % resistor networks
   2 Calculate the currents in each resistor of Fig.~19-49.
   3 \end{problem*}
   4
   5 \begin{nosolution}
   6 \begin{center}
   7 \begin{asy}
   8 import Circ;
   9 real u = 3cm;
  10 MultiTerminal Bc = source(dir=90, type=DC, value="$3.0\U{V}$");
  11 MultiTerminal Rcb = resistor(Bc.terminal[0], dir=-90,
  12     value=Label("$10\U{\Ohm}$", align=E));
  13 MultiTerminal Rca = resistor(Bc.terminal[1], dir=180, value="$2\U{\Ohm}$");
  14 pair Jtop = Rca.terminal[1], Jbot = (Jtop.x,Rcb.terminal[1].y);
  15 MultiTerminal Rb = resistor(Jtop, dir=-90,
  16     value=Label("$6\U{\Ohm}$", align=E));
  17 MultiTerminal Ba = source(Jtop, dir=180, type=DC, value="$6.0\U{V}$");
  18 MultiTerminal Rab = resistor(Jbot, dir=180,
  19     value=Label("$8\U{\Ohm}$", align=S));
  20 MultiTerminal Raa = resistor(Rab.terminal[1], dir=90,
  21     value=Label("$12\U{\Ohm}$", align=W));
  22 wire(Ba.terminal[1], Raa.terminal[1], rlsq);
  23 wire(Rab.terminal[0], Jbot, nsq);
  24 wire(Jbot, Rb.terminal[1], nsq);
  25 wire(Jbot, Rcb.terminal[1], rlsq);
  26 \end{asy}
  27 \end{center}
  28 \end{nosolution}
  29
  30 \begin{solution}
  31 \begin{center}
  32 \begin{asy}
  33 import Circ;
  34 MultiTerminal Bc = source(dir=90, type=DC, value="$3.0\U{V}$");
  35 MultiTerminal Rcb = resistor(Bc.terminal[0], dir=-90,
  36     value=Label("$10\U{\Ohm}$", align=E));
  37 MultiTerminal Rca = resistor(Bc.terminal[1], dir=180, value="$2\U{\Ohm}$");
  38 pair Jtop = Rca.terminal[1], Jbot = (Jtop.x,Rcb.terminal[1].y);
  39 MultiTerminal Ic = current((Jbot+Rcb.terminal[1])/2, Label("$I_3$", align=S));
  40 MultiTerminal Rb = resistor(Jtop, dir=-90,
  41     value=Label("$6\U{\Ohm}$", align=E));
  42 MultiTerminal Ib = current(Rb.terminal[1], dir=-90, "$I_2$");
  43 MultiTerminal Ba = source(Jtop, dir=180, type=DC, value="$6.0\U{V}$");
  44 MultiTerminal Ia = current(Ba.terminal[1], dir=180, "$I_1$");
  45 MultiTerminal Rab = resistor(Jbot, dir=180,
  46     value=Label("$8\U{\Ohm}$", align=S));
  47 MultiTerminal Raa = resistor(Rab.terminal[1], dir=90,
  48     value=Label("$12\U{\Ohm}$", align=W));
  49 wire(Ia.terminal[1], Raa.terminal[1], rlsq);
  50 wire(Jbot, Ib.terminal[1], nsq);
  51 wire(Jbot, Ic.terminal[0], nsq);
  52 wire(Ib.terminal[1], Rb.terminal[1], nsq);
  53 wire(Ic.terminal[1], Rcb.terminal[1], rlsq);
  54 dot("a", Jbot, S);
  55 \end{asy}
  56 \end{center}
  57 Label the resistors from left to right: $R_1 = 12\U{\Ohm}$, $R_2 =
  58 8\U{\Ohm}$, $R_3 = 6\U{\Ohm}$, $R_4 = 2\U{\Ohm}$, and $R_5 =
  59 10\U{\Ohm}$.
  60
  61 Label the batteries from left to right: $V_1 = 6.0\U{V}$ and $V_2 =
  62 3.0\U{V}$.
  63
  64 Applying Kirchhoff's junction rule to junction $a$ we have
  65 $$I_1 + I_2 - I_3 = 0$$
  66
  67 Applying Kirchhoff's loop rule to the left-hand loop we have
  68 $$V_1 - I_1 (R_1 + R_2) + R_3 I_2 = 0$$
  69 where we \emph{add} the voltage change over $R_3$ because we cross it
  70 \emph{against} the direction of the current $I_2$.
  71
  72 Applying Kirchhoff's loop rule to the right-hand loop we have
  73 $$V_2 - R_4 I_3 - R_3 I_2 - R_5 I_5 = V_2 - I_3 (R_4 + R_5) - R_3 I_2 = 0$$
  74
  75 We now have three equations for three unknowns (the $I_i$).
  76 Solving the loop rools for $I_1$ and $I_3$ we have
  77 \begin{align*}
  78   I_1 &= \frac{V_1 + R_3 I_2}{R_1 + R_2} = \frac{V_1 + R_3 I_2}{R_{12}} \\
  79   I_3 &= \frac{V_2 - R_3 I_2}{R_4 + R_5} = \frac{V_2 - R_3 I_2}{R_{45}}
  80 \end{align*}
  81 where we have used the equivalent resistances $R_{12} \equiv R_1 +
  82 R_2$ and $R_{45} \equiv R_4 + R_5$ to save writing later.  We can then
  83 plug those currents into the junction rule and solve for $I_2$
  84 \begin{align*}
  85   \frac{V_1 + R_3 I_2}{R_{12}} + I_2 - \frac{V_2 - R_3 I_2}{R_{45}} &= 0 \\
  86   \frac{V_1}{R_{12}} + \frac{R_3}{R_{12}} I_2 + I_2
  87     - \frac{V_2}{R_{45}} + \frac{R_3}{R_{45}}I_2 &= 0 \\
  88   \p({\frac{R_3}{R_{12}} + 1 + \frac{R_3}{R_{45}}})\cdot I_2
  89     &= \frac{V_2}{R_{45}} - \frac{V_1}{R_{12}} \\
  90   I_2 &= \frac{\frac{V_2}{R_{45}} - \frac{V_1}{R_{12}}}{\frac{R_3}{R_{12}}
  91     + 1 + \frac{R_3}{R_{45}}} \\
  92   I_2 &= \ans{-28\U{mA}}
  93 \end{align*}
  94 Where the $-$ sign means the true current is in the opposite direction
  95 to the one we have assigned (so the true current flows upward in the
  96 figure).  We can now plug this current in to find $I_1$ and $I_3$.
  97 \begin{align*}
  98   I_1 &= \frac{V_1 + R_3 I_2}{R_{12}} = \ans{292\U{mA}} \\
  99   I_3 &= \frac{V_2 - R_3 I_2}{R_{45}} = \ans{264\U{mA}}
 100 \end{align*}
 101
 102 Double-checking our algebra, we see
 103  $I_1 + I_2 - I_3 = 292 - 27 - 264 = -1\U{mA} \approx 0$
 104 where difference of $1\U{mA}$ is due to rounding errors from forcing
 105 our answers to milli-Volt precision.
 106 \end{solution}