latex/problems/Giancoli_6/problem17.40.tex

   1 \begin{problem*}{17.40} % capacitor circuits
   2 A $C_1 = 7.7\U{$\mu$F}$ capacitor is charged by a $V = 125\U{V}$
   3 battery (Fig. 17-29a) and then is disconnected from the battery.  When
   4 this capacitor ($C_1$) is then connected (Fig. 17-29b) to a second
   5 (initially uncharged) capacitor, $C_2$, the final voltage on each
   6 capacitor is $V_2 = 15\U{V}$.  What is the value of $C_2$?
   7 [\emph{Hint:} charge is conserved.]
   8 \begin{center}
   9 \begin{asy}
  10 %    C1         C1
  11 % +--||--+   +--||--+
  12 % |      |   |      |
  13 % +--i|--+   +--||--+
  14 %    V          C2
  15 %
  16 %   (a)        (b)
  17 import Circ;
  18
  19 real u = 1cm;
  20 real dx = u;
  21 real dy = 1.5u;
  22
  23 MultiTerminal bat = battery("$V$");
  24 MultiTerminal c1 = capacitor("$C_1$", draw=false);
  25 two_terminal_centerto(bat, c1, dy); c1.draw();
  26 wire(bat.terminal[1], c1.terminal[1], rlsq, dx/2);
  27 wire(bat.terminal[0], c1.terminal[0], rlsq, -dx/2);
  28 label("(a)", bat.center + (0, -dy/2));
  29
  30 c1.shift(3*dx); c1.draw();
  31 MultiTerminal c2 = capacitor("$C_2$", draw=false);
  32 two_terminal_centerto(c1, c2, -dy); c2.draw();
  33 wire(c2.terminal[1], c1.terminal[1], rlsq, dx/2);
  34 wire(c2.terminal[0], c1.terminal[0], rlsq, -dx/2);
  35 label("(b)", c2.center + (0, -dy/2));
  36 \end{asy}
  37 \end{center}
  38 \end{problem*}
  39
  40 \begin{solution}
  41 \begin{center}
  42 \begin{asy}
  43 import Circ;
  44
  45 real u = 1cm;
  46 real dx = u;
  47 real dy = 1.5u;
  48
  49 MultiTerminal bat = battery("$V$");
  50 MultiTerminal c1 = capacitor("$C_1$", draw=false);
  51 two_terminal_centerto(bat, c1, dy); c1.draw();
  52 wire(bat.terminal[1], c1.terminal[1], rlsq, dx/2);
  53 wire(bat.terminal[0], c1.terminal[0], rlsq, -dx/2);
  54 label("(a)", bat.center + (0, -dy/2));
  55 label("$Q_{1a}$", c1.terminal[1], NE);
  56 label("$-Q_{1a}$", c1.terminal[0], NW);
  57
  58 c1.shift(3*dx); c1.draw();
  59 MultiTerminal c2 = capacitor("$C_2$", draw=false);
  60 two_terminal_centerto(c1, c2, -dy); c2.draw();
  61 wire(c2.terminal[1], c1.terminal[1], rlsq, dx/2);
  62 wire(c2.terminal[0], c1.terminal[0], rlsq, -dx/2);
  63 label("(b)", c2.center + (0, -dy/2));
  64 label("$Q_{1b}$", c1.terminal[1], NE);
  65 label("$-Q_{1b}$", c1.terminal[0], NW);
  66 label("$Q_{2b}$", c2.terminal[1], SE);
  67 label("$-Q_{2b}$", c2.terminal[0], SW);
  68 \end{asy}
  69 \end{center}
  70
  71 Because the voltage drop across $C_1$ in situation $a$ is the same as
  72 the voltage drop across the battery ($V$), we have
  73 $$
  74   Q_{1a} = C_1 V
  75 $$
  76 When we connect $C_2$ in situation $b$, this charge redistributes
  77 between $C_1$ and $C_2$.  Because charge is conserved, we know
  78 $$
  79   Q_{1a} = Q_{1b} + Q_{2b}
  80 $$
  81 We also know that the voltage drop across both capacitors in situation
  82 $b$ must be equal ($\text{both} = V_2$), so
  83 \begin{align*}
  84   Q_{1b} &= C_1 V_2 \\
  85   Q_{2b} &= C_2 V_2
  86 \end{align*}
  87 Plugging each of these formulas for charge ($Q_{1a}$, $Q_{1b}$, and
  88 $Q_{2b}$) into the charge conservation formula yeilds
  89 \begin{align*}
  90   C_1 V &= C_1 V_2 + C_2 V_2 \\
  91   C_1 (V - V_2) &= C_2 V_2 \\
  92   V_2 C_2 &= C_1 (V - V_2) \\
  93   C_2 &= C_1 \p({\frac{V}{V_2} - \frac{V_2}{V_2}}) \\
  94   C_2 &= C_1 \p({\frac{V}{V_2} - 1}) \\
  95   C_2 &= 7.7\U{$\mu$F} \cdot \p({\frac{125\U{V}}{15\U{V}} - 1})
  96        = \ans{56\U{$\mu$F}}
  97 \end{align*}
  98
  99 \end{solution}