tex/src/cantilever-calib/solve_general.tex

   1 \subsection{General form}
   2
   3 The procedure here is exactly the same as the previous section.  The
   4 integral normalizing $G_0$, however, becomes a little more
   5 complicated.
   6
   7 Fourier transforming \cref{eq:DHO} and applying \cref{eq:four-deriv} we have
   8 \begin{align}
   9   (-m\omega^2 + i \gamma \omega + k) x(\omega) &= F(\omega)
  10                                               \label{eq:DHO-freq} \\
  11   (\omega_0^2-\omega^2 + i \beta \omega) x(\omega) &= \frac{F(\omega)}{m} \\
  12   |x(\omega)|^2 &= \frac{|F(\omega)|^2/m^2}
  13                         {(\omega_0^2-\omega^2)^2 + \beta^2\omega^2} \;,
  14                                               \label{eq:DHO-xmag}
  15 \end{align}
  16 where $\omega_0 \equiv \sqrt{k/m}$ is the resonant angular frequency
  17 and $\beta \equiv \gamma / m$ is the drag-aceleration coefficient.
  18 \index{Damped harmonic oscillator}\index{beta}\index{gamma}
  19 \nomenclature{$\omega_0$}{Resonant angular frequency (radians per second)}
  20 \index{$\omega_0$}
  21
  22 We compute the \PSD\ by plugging \cref{eq:DHO-xmag} into \cref{eq:psd-def}
  23 \begin{equation}
  24   \PSD(x, \omega)
  25         = \normLimT \frac{2 |F(\omega)|^2/m^2}
  26                          {(\omega_0^2-\omega^2)^2 + \beta^2\omega^2} \;.
  27                                                \label{eq:DHO-psd-F}
  28 \end{equation}
  29 \index{PSD@\PSD}
  30
  31 Plugging \cref{eq:GOdef} into \cref{eq:DHO-psd-F} we have
  32 \begin{equation}
  33   \PSD(x, \omega) = \frac{G_0/m^2}{(\omega_0^2-\omega^2)^2 +\beta^2\omega^2}\;.
  34      \label{eq:model-psd}
  35 \end{equation}
  36 Integrating over positive $\omega$ to find the total power per unit time yields
  37 \begin{align}
  38   \iOInf{\omega}{\PSD(x, \omega)}
  39      &= \frac{G_0}{2m^2}
  40       \iInfInf{\omega}{\frac{1}{(\omega_0^2-\omega^2)^2 + \beta^2\omega^2}}
  41       = \frac{G_0}{2m^2} \cdot \frac{\pi}{\beta\omega_0^2}
  42       = \frac{G_0 \pi}{2m^2\beta\omega_0^2}
  43       = \frac{G_0 \pi}{2m^2\beta \frac{k}{m}} \\
  44      &= \frac{G_0 \pi}{2m \beta k} \;.
  45 \end{align}
  46 The integration is detailed in \cref{sec:integrals}.
  47 By the corollary to Parseval's theorem (\cref{eq:parseval-var}), we have
  48 \begin{equation}
  49   \avg{x(t)^2} = \frac{G_0 \pi}{2m^2\beta\omega_0^2} \;.  \label{eq:DHO-var}
  50 \end{equation}
  51
  52 Plugging \cref{eq:DHO-var} into the equipartition theorem
  53 (\cref{eq:equipart}) we have
  54 \begin{align}
  55   k \frac{G_0 \pi}{2m \beta k} &= k_BT \\
  56   G_0 &= \frac{2}{\pi} k_BT m \beta \;.  \label{eq:GO}
  57 \end{align}
  58
  59 So we expect $x(t)$ to have a power spectral density per unit time given by
  60 \begin{equation}
  61   \PSD(x, \omega) = \frac{2 k_BT \beta}
  62                    { \pi m \p[{(\omega_0^2-\omega^2)^2 + \beta^2\omega^2}] }\;.
  63   \label{eq:DHO-psd}
  64 \end{equation}
  65 \index{PSD@\PSD}
  66
  67 As expected, the general form \cref{eq:DHO-psd} reduces to the
  68 extremely overdamped form \cref{eq:ODHO-psd}.  Plugging in for
  69 $\beta\equiv\gamma/m$ and $\omega_0\equiv\sqrt{k/m}$,
  70 \begin{align}
  71   \lim_{m\rightarrow 0} \PSD(x, \omega)
  72     &= \lim_{m\rightarrow 0} \frac{2 k_BT \gamma}
  73        { \pi m^2 \p[{(k/m-\omega^2)^2 + \gamma^2/m^2\omega^2}] }
  74      = \lim_{m\rightarrow 0} \frac{2 k_BT \gamma}
  75        { \pi \p[{(k-m\omega^2)^2 + \gamma^2\omega^2}] } \\
  76     &= \frac{2}{\pi}
  77                \cdot
  78        \frac{\gamma k_BT}{k^2 + \gamma^2\omega^2} \;.
  79 \end{align}