tex/src/cantilever-calib/integrals.tex

   1 \section{Integrals}
   2 \label{sec:integrals}
   3
   4 \subsection{Highly damped integral}
   5
   6 \begin{equation}
   7   I = \iOInf{z}{\frac{1}{k^2 + z^2}}
   8     = \frac{1}{2} \iInfInf{z}{\frac{1}{k^2 + z^2}}
   9     = \frac{1}{2k} \iInfInf{u}{\frac{1}{u^2+1}} \;,
  10 \end{equation}
  11 where $u \equiv z/k$ and $du = dz/k$.
  12 There are simple poles at $u = \pm i$.
  13 \begin{equation}
  14   I = \frac{1}{2k} \cdot 2 \pi i \Res{i}{f(u)}
  15     = \frac{1}{2k} \cdot \frac{2 \pi i}{i+i}
  16     = \frac{\pi}{2 k} \;.
  17 \end{equation}
  18
  19
  20 \subsection{General case integral}
  21
  22 We will show that, for any $(a,b > 0) \in \Reals$,%
  23 \nomenclature[aR]{\Reals}{Real numbers}
  24 \begin{equation}
  25   I = \iInfInf{z}{\frac{1}{(a^2-z^2)^2 + b^2 z^2}} = \frac{\pi}{b a^2} \;.
  26 \end{equation}
  27
  28 First we note that $|f(z)| \rightarrow 0$ like $|z^{-4}|$ for $|z| \gg 1$,
  29 and that $f(z)$ is even, so
  30 \begin{equation}
  31   I = \iC{\frac{1}{(a^2-z^2)^2 + b^2 z^2}} \;,
  32 \end{equation}
  33 where \C\ is the contour shown in \cref{fig:UHP-contour}.
  34
  35 Because the denominator is of the form $A^2 + B^2$, we can factor it
  36 into $(A+iB)(A-iB)$. % thanks Prof. Yuan
  37 \begin{equation}
  38   (a^2-z^2)^2 + b^2 z^2
  39       = (a^2-z^2 \colA{+} ibz)(a^2-z^2 \colA{-} ibz)
  40 \end{equation}
  41 The roots of $z^2 \colA{\pm} ibz - a^2$ are given by
  42 \begin{equation}
  43   z_{r\colB{\pm}}
  44        = \colA{\pm}\frac{ib}{2} \left(
  45                        1 \colB{\pm} \sqrt{1-4\frac{-a^2}{(ib)^2}}
  46                                  \right)
  47        = \pm\frac{ib}{2} \left(
  48                        1 \pm \sqrt{1-4\frac{a^2}{b^2}}
  49                           \right)
  50        = \pm\frac{ib}{2} \left(
  51                        1 \pm S
  52                           \right) \;,
  53 \end{equation}
  54 where $S \equiv \sqrt{1-4\frac{a^2}{b^2}}$.
  55
  56 %critical damping when $\omega_0^2 = \beta'^2$ % TM
  57 %where our $a = \omega_0$ and $b = \beta$,
  58 %and $\beta = \gamma/m = 2 \beta'$
  59 %Critical damping when $a^2 =  b^2/4$, so $S = 0$
  60 To determine the nature and locations of the roots, consider the following
  61 cases
  62 \begin{itemize}
  63  \item $a < b/2$, overdamped.
  64  \item $a = b/2$, critically damped.
  65  \item $a > b/2$, underdamped.
  66 \end{itemize}
  67
  68 In the overdamped case $S \in \Reals$ and $S > 0$,
  69 so $z_{r\pm}$ is purely imaginary, and $z_{r+} \ne z_{r-}$.
  70 For any $a < b/2$, we have $0 < S < 1$, so $\Imag(z_{r\pm}) > 0$.
  71 Thus, there are two single poles in the upper half plane ($z_{r\pm}$),
  72 and two single poles in the lower half plane ($-z_{r\pm}$).
  73
  74 In the critically damped case $S = 0$, so $z_{r+} = z_{r-}$,
  75 and we have double poles at $\pm z_{r+} = \frac{ib}{2}$.
  76
  77 In the underdamped case $S$ is purely imaginary,
  78 so $z_{r\pm}$ is complex, with $z_{r+}$ in the 2\nd quarter,
  79 and $z_{r-}$ in the 1\st quarter.
  80 The other two simple poles, $-z_{r-}$ and $-z_{r+}$, are in the
  81 3\rd and 4\sth quarters respectively.
  82
  83 Our contour \C\ always encloses the poles $z_{r\pm}$.
  84 We will deal with the simple pole cases first,
  85 and then return to the critically damped case.
  86
  87 \subsubsection{Over- and under-damped}
  88
  89 Our factored function $f(z)$ is
  90 \begin{equation}
  91   f(z) = \frac{1}{(z-z_{r+})(z+z_{r+})(z+z_{r-})(z-z_{r-})} \;.
  92 \end{equation}
  93
  94 Applying \cref{eq:res-thm,eq:res-simple} we have
  95 \begin{align}
  96   I &= 2\pi i \left( \Res{z_{r+}}{f(z)} + \Res{z_{r-}}{f(z)} \right) \\
  97     &= 2\pi i \left(
  98               \frac{1}{       (z_{r+}+z_{r+})
  99                         \colA{(z_{r+}+z_{r-})
 100                               (z_{r+}-z_{r-})}  }
 101             + \frac{1}{ \colA{(z_{r-}-z_{r+})
 102                               (z_{r-}+z_{r+})}
 103                               (z_{r-}+z_{r-})  }
 104               \right) \\
 105     &= \frac{\pi i}{\colA{z_{r+}^2-z_{r-}^2}} \left(
 106                    \frac{1}{z_{r+}}
 107           \colA{-} \frac{1}{z_{r-}}
 108               \right)
 109      = \frac{\pi i}{   \left( \colB{\frac{ib}{2}} (1+S) \right)^2
 110                      - \left( \colB{\frac{ib}{2}} (1-S) \right)^2 }
 111               \cdot \frac{z_{r-}-z_{r+}}{z_{r+}z_{r-}} \\
 112     &= \frac{\colB{-4}\pi i / \colB{b^2}}{  (1+2S+S^2) - (1-2S+S^2)  }
 113               \cdot \frac{ \colA{\frac{ib}{2}} [(1-S) - (1+S)] }
 114                          { \left(\frac{ib}{2}\right)^{\colA{2}} (1+S)(1-S) }
 115      = \frac{-8\pi / b^3}{  4S  }
 116               \cdot \frac{-2S}
 117                          {(1 - S^2)} \\
 118     &= \frac{ 4\pi }{ b^3 (1 - S^2)}
 119      = \frac{ 4\pi }{ b^3 [1 - (1-4\frac{a^2}{b^2})]}
 120      = \frac{ 4\pi }{ b^3 \cdot 4\frac{a^2}{b^2}}
 121      = \frac{ \pi }{ b a^2 } \;. \label{eq:gen-int-noncrit}
 122 \end{align}
 123
 124
 125 \subsubsection{Critically damped}
 126
 127 Our factored function $f(z)$ is
 128 \begin{equation}
 129   f(z) = \frac{1}{(z-z_{r+})^2(z-z_{r-})^2} \;.
 130 \end{equation}
 131
 132 Applying \cref{eq:res-thm,eq:res-general} we have
 133 \begin{align}
 134   I &= 2\pi i \Res{z_{r+}}{f(z)}
 135      = \colA{2}\pi i \left( \colA{\frac{1}{2!}}
 136                                    \limZ{z_{r+}}
 137                                     \deriv{z}{} \frac{1}{(z + z_{r+})^2}
 138                      \right)
 139      = \pi i \limZ{z_{r+}} -2 \cdot \frac{1}{(z_{r+} + z_{r+})^3} \\
 140     &= - 2 \pi i \frac{1}{z_{r+}^3}
 141      = \colA{-} 2 \pi \colA{i} \frac{1}{(\frac{\colA{i}b}{2})^3}
 142      = \frac{\pi}{b (\frac{b}{2})^2}
 143      = \frac{\pi}{b a^2} \;, \label{eq:gen_int_crit}
 144 \end{align}
 145 which matches \cref{eq:gen-int-noncrit}.