tex/src/apparatus/cantilever-calib.tex

   1 \section{Cantilever Spring Constant Calibration}
   2 \label{sec:cantilever-calib:intro}
   3
   4 In order to measure forces accurately with an AFM, it is important to
   5 measure the cantilever spring constant.  The force exerted on the
   6 cantilever can then be deduced from it's deflection via Hooke's law
   7 $F=-kx$.
   8 \nomenclature{$F$}{Force (newtons)}
   9 \nomenclature{$k$}{Spring constant (newtons per meter)}
  10 \nomenclature{$x$}{Displacement (meters)}
  11
  12 The basic idea is to use the equipartition theorem\citep{hutter93},
  13 \begin{equation}
  14   \frac{1}{2} k \avg{x^2} = \frac{1}{2} k_BT \;, \label{eq:equipart}
  15 \end{equation}
  16 where $k_B$ is Boltzmann's constant, $T$ is the absolute temperature,
  17 and $\avg{x^2}$ denotes the expectation value of $x^2$ as measured
  18 over a very long interval $t_T$,
  19 \nomenclature{$k_B$}{Boltzmann's constant,
  20   $k_B = 1.380 65\E{-23}\U{J/K}$\citep{codata-boltzmann}}
  21 \nomenclature{$T$}{Absolute temperature (Kelvin)}
  22 \nomenclature{$\avg{s(t)}$}{Mean (expectation value) of a time-series $s(t)$
  23   \begin{equation}
  24     \avg{A} \equiv \iLimT{A} \;.
  25   \end{equation}}
  26 Solving the equipartition theorem for $k$ yields
  27 \begin{equation}
  28   k = \frac{k_BT}{\avg{x^2}} \;, \label{eq:equipart_k}
  29 \end{equation}
  30 so we need to measure (or estimate) the temperature $T$ and variance
  31 of the cantilever position $\avg{x^2}$ in order to estimate $k$.
  32
  33 To find $\avg{x^2}$, the raw photodiode voltages $V_p(t)$ are
  34 converted to distances $x(t)$ using the photodiode sensitivity
  35 $\sigma_p$ (the slope of the voltage vs.~distance curve of data taken
  36 while the tip is in contact with the surface) via
  37 \begin{equation}
  38   x(t) = \frac{V_p(t)}{\sigma_p} \;. \label{eq:x-from-Vp}
  39 \end{equation}
  40 By keeping $V_p$ and $\sigma_p$ separate in our calculation of $k$, we
  41 can gauge the relative importance errors in each parameter and
  42 calculate the uncertainty in our estimated $k$.
  43
  44 In order to filter out noise in the measured value of $\avg{V_p^2}$ we
  45 fit the measured cantilever deflection to the expected theoretical
  46 power spectral density ($\PSD_f$) of a damped harmonic oscillator
  47 exposed to thermal noise
  48 \nomenclature[PSD]{$\PSD_f$}{Power spectral density in
  49   frequency space
  50   \begin{equation}
  51     \PSD_f(g, f) \equiv \normLimT 2 \magSq{ \Fourf{g(t)}(f) }
  52   \end{equation}}
  53 \nomenclature{$f$}{Frequency (hertz)}
  54 \begin{equation}
  55   \PSD_f(V_p, f) = \frac{G_{1f}}{(f_0^2-f^2)^2 + \beta_f^2 f^2} \;.
  56 \end{equation}
  57 In terms of the fit parameters $G_{1f}$, $f_0$, and $\beta_f$,
  58 the expectation value for $V_p$ is given by
  59 \begin{equation}
  60   \avg{V_p(t)^2} = \frac{\pi G_{1f}}{2\beta_f f_0^2} \;.
  61   \label{eq:Vp-from-freq-fit}
  62 \end{equation}
  63
  64 Combining \cref{eq:equipart_k,eq:x-from-Vp,eq:Vp-from-freq-fit}, we
  65 have
  66 \begin{align}
  67   k &= \frac{\sigma_p^2 k_BT}{\avg{V_p(t)^2}}
  68     = \frac{2 \beta_f f_0^2 \sigma_p^2 k_BT}{\pi G_{1f}} \;.
  69 \end{align}
  70
  71 For a complete derivation of the procedure presented in this section,
  72 see \cref{sec:cantilever-calib}.