src/cantilever-calib/solve_highly_damped.tex

   1 \subsection{Highly damped case}
   2
   3 For highly damped systems, the inertial term becomes insignificant
   4  ($m \rightarrow 0$).
   5 This model is commonly used for optically trapped beads\citep{TODO}.
   6 Because it is simpler and solutions are more easily available%
   7 \citep{grossman05,TODO},
   8 it will server to outline the general approach before we dive into the
   9 general case.
  10
  11 Fourier transforming \cref{eq:DHO} with $m=0$ and applying
  12 \cref{eq:four-deriv} we have
  13 % ODHO stands for very Over Damped Harmonic oscillator
  14 \begin{align}
  15   (i \gamma \omega + k) x(\omega) &= F(\omega) \label{eq:ODHO-freq} \\
  16   |x(\omega)|^2 &= \frac{|F(\omega)|^2}{k^2 + \gamma^2 \omega^2} \;.
  17                                                \label{eq:ODHO-xmag}
  18 \end{align}
  19 \index{Damped harmonic oscillator!extremely overdamped}
  20 We compute the \PSD\ by plugging \cref{eq:ODHO-xmag} into
  21 \cref{eq:psd-def}
  22 \begin{equation}
  23   \PSD(x, \omega)
  24         = \normLimT \frac{2\magSq{F(\omega)}}{k^2 + \gamma^2\omega^2} \;.
  25                                                \label{eq:ODHO-psd-F}
  26 \end{equation}
  27 \index{PSD@\PSD}
  28
  29 Because thermal noise is white (not autocorrelated + Wiener-Khinchin Theorem),
  30 we can denote the one sided thermal power spectral density per unit time by
  31 \begin{equation}
  32   \PSD(F, \omega) = G_0
  33      = \normLimT 2 \magSq{F(\omega)} \;. \label{eq:GOdef} % label O != zero
  34 \end{equation}
  35
  36 Plugging \cref{eq:GOdef} into \cref{eq:ODHO-psd} we have
  37 \begin{equation}
  38   \PSD(x, \omega) = \frac{G_0}{k^2 + \gamma^2\omega^2} \;.
  39 \end{equation}
  40 This is the formula we would use to fit our measured \PSD, but let us go a
  41 bit farther to find the expected \PSD\ and thermal noise
  42  given $m$, $\gamma$ and $k$.
  43
  44 Integrating over positive $\omega$ to find the total power per unit time yields
  45 \begin{align}
  46   \iOInf{\omega}{\PSD(x, \omega)}
  47      = \iOInf{\omega}{\frac{G_0}{k^2 + \gamma^2\omega^2}}
  48      = \frac{G_0}{\gamma}\iOInf{z}{\frac{1}{k^2 + z^2}}
  49      = \frac{G_0 \pi}{2 \gamma k} \;,
  50 \end{align}
  51 where the integral is solved in \cref{sec:integrals}.
  52
  53 Plugging into our corollary to Parseval's theorem (\cref{eq:parseval-var}),
  54 \begin{equation}
  55   \avg{x(t)^2} = \frac{G_0 \pi}{2 \gamma k} \;. \label{eq:ODHO-var}
  56 \end{equation}
  57
  58 Plugging \cref{eq:ODHO-var} into \cref{eq:equipart} we have
  59 \begin{align}
  60   k \frac{G_0 \pi}{2 \gamma k} &= k_BT \\
  61   G_0 &= \frac{2 \gamma k_BT}{\pi} \;.
  62 \end{align}
  63
  64 So we expect $x(t)$ to have a power spectral density per unit time given by
  65 \begin{equation}
  66   \PSD(x, \omega) = \frac{2}{\pi}
  67                        \cdot
  68                     \frac{\gamma k_BT}{k^2 + \gamma^2\omega^2} \;.
  69   \label{eq:ODHO-psd}
  70 \end{equation}
  71 \index{PSD@\PSD}