src/cantilever-calib/setup_general.tex

   1 \section{Theoretical power spectral density for a damped harmonic oscillator}
   2 \label{sec:setup}
   3
   4 Our cantilever can be approximated as a damped harmonic oscillator
   5 \begin{equation}
   6   m\ddt{x} + \gamma \dt{x} + k x = F(t) \;, \label{eq:DHO}
   7   % DHO for Damped Harmonic Oscillator
   8 \end{equation}
   9 where $x$ is the displacement from equilibrium,
  10  $m$ is the effective mass,
  11  $\gamma$ is the effective drag coefficient,
  12  $k$ is the spring constant, and
  13  $F(t)$ is the external driving force.
  14 During the non-contact phase of calibration,
  15  $F(t)$ comes from random thermal noise.
  16 \nomenclature{$\beta$}{Damped harmonic oscillator drag-acceleration
  17   coefficient $\beta \equiv \gamma/m$}\index{$\beta$}%
  18 \nomenclature{$\gamma$}{Damped harmonic oscillator drag coefficient
  19   $F_\text{drag} = \gamma\dt{x}$}\index{$\gamma$}%
  20 \index{damped harmonic oscillator}%
  21 \nomenclature{$\dt{s}$}{First derivative of the time-series $s(t)$
  22   with respect to time.  $\dt{s} = \deriv{t}{s}$}%
  23 \nomenclature{$\ddt{s}$}{Second derivative of the time-series $s(t)$
  24   with respect to time.  $\ddt{s} = \nderiv{2}{t}{s}$}%
  25
  26 In the following analysis, we use the unitary, angular frequency Fourier transform normalization
  27 \begin{equation}
  28   \Four{x(t)} \equiv \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \iInfInf{t}{x(t) e^{-i \omega t}}\;.
  29 \end{equation}
  30 \nomenclature{\Four{s(t)}}{Fourier transform of the time-series
  31   $s(t)$.  $s(f) = \Four{s(t)}$}\index{Fourier transform}
  32
  33 We also use the following theorems (proved elsewhere):
  34 \begin{align}
  35   \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) &= \pm\sqrt{\frac{1}{2}[1+\cos(\theta)]}\;,
  36      &\text{\citep{cos-halfangle}} \label{eq:cos-halfangle} \\
  37   \Four{\nderiv{n}{t}{x(t)}} &= (i \omega)^n x(\omega) \;,
  38      &\text{\citep{four-deriv}} \label{eq:four-deriv} \\
  39 %  \Four{x*y} &= x(\omega) y(\omega),  \label{eq:four-conv}
  40 %     & \text{and} \\
  41   \iInfInf{t}{\magSq{x(t)}} &= \iInfInf{\omega}{\magSq{x(w)}} \;.
  42      &\text{(Parseval's)\citep{parseval}} \label{eq:parseval}
  43 \end{align}
  44 \index{cosine half-angle}
  45 \index{Parseval's theorem}
  46 %where $x*y$ denotes the convolution of $x$ and $y$,
  47 %\begin{equation}
  48 %  x*y \equiv \iInfInf{\tau}{x(t-\tau)y(\tau)}.
  49 %\end{equation}
  50 As a corollary to Parseval's theorem, we note that the one sided power spectral density per unit time (\PSD) defined by
  51 \begin{align}
  52   \PSD(x, \omega) &\equiv \normLimT 2 \left| x(\omega) \right|^2
  53      &\text{\citep{PSD}} \label{eq:psd-def}
  54 \end{align}
  55 \index{PSD@\PSD}
  56 relates to the variance by
  57 \begin{align}
  58   \avg{x(t)^2}
  59      &= \iLimT{\magSq{x(t)}}
  60      = \normLimT \iInfInf{\omega}{\magSq{x(\omega)}}
  61      = \iOInf{\omega}{\PSD(x,\omega)} \;, \label{eq:parseval-var}
  62 \end{align}
  63 where $t_T$ is the total time over which data has been aquired.
  64
  65 We also use the Wiener-Khinchin theorem,
  66 which relates the two sided power spectral density $S_{xx}(\omega)$
  67 to the autocorrelation function $r_{xx}(t)$ via
  68 \begin{align}
  69   S_{xx}(\omega) &= \Four{ r_{xx}(t) } \;,
  70        &\text{(Wiener-Khinchin)\citep{wiener-khinchin}} \label{eq:wiener_khinchin}
  71 \end{align}
  72 \index{Wiener-Khinchin theorem}
  73 where $r_{xx}(t)$ is defined in terms of the expectation value
  74 \begin{align}
  75   r_{xx}(t) &\equiv \avg{x(\tau)\conj{x}(\tau-t)} \;,
  76        &\text{\citep{wikipedia-wiener-khinchin}}
  77 \end{align}
  78 and $\conj{x}$ represents the complex conjugate of $x$.
  79 \nomenclature{$\conj{z}$}{Complex conjugate of $z$}