latex/problems/Serway_and_Jewett_8/problem08.08.tex

   1 \begin{problem*}{8.8}
   2 Two objects are connected by a light string passing over a light,
   3 frictionless pulley as shown in Figure P8.7.  The object of mass $m_1$
   4 is released from rest at a height $h$ above the table.  Using the
   5 isolated system model, \Part{a} determine the speed of $m_2$ just as
   6 $m_1$ hits the table and \Part{b} find the maximum height above the
   7 table to which $m_2$ rises.
   8 %  ceiling
   9 %   pulley
  10 %  |     |
  11 %  |     1
  12 %  |       } h
  13 %  2       }
  14 %--table-----
  15 \end{problem*}
  16
  17 \begin{solution}
  18 \Part{a}
  19 Conserving energy, we just have to worry about gravitational potential
  20 energy and kinetic energy (there are no springs, friction, external
  21 forces, etc.).  While they are attached by a taught string (i.e. while
  22 $m_1$ is falling), the speeds of the two masses must match.  Labeling
  23 the release point $a$ and $m_1$ just hitting the floor $b$, we have
  24 \begin{align}
  25   E_a &= E_b \\
  26   K_{1a} + U_{1a} + K_{2a} + U_{2a} &= K_{1b} + U_{1b} + K_{2b} + U_{2b} \\
  27   0 + m_1 gh + 0 + 0
  28     &= \frac{1}{2} m_1 v_b^2 + 0 + \frac{1}{2} m_2 v_b^2  + m_2 gh \\
  29   (m_1-m_2) gh &= \frac{1}{2} (m_1+m_2) v_b^2 \\
  30   v_b^2 &= 2gh\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2} \\
  31   v_b &= \pm\sqrt{2gh\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}}
  32     = \ans{\sqrt{2gh\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}}} \;,
  33 \end{align}
  34 where we dropped the $\pm$ because we only want the magnitude of the
  35 velocity, not its direction.
  36
  37 \Part{b}
  38 After $m_1$ hits the table, the string goes slack as $m_2$ sails up in
  39 a parabola $h(t)$ and peaks at some point $c$.  Conserving energy (now
  40 just for $m_2$, because $m_1$ just sits there on the table being
  41 boring)
  42 \begin{align}
  43   E_{2b} &= E_{2c} \\
  44   K_{2b} + U_{2b} &= K_{2c} + U_{2c} \\
  45   \frac{1}{2} m_2 v_b^2 + m_2 gh &= 0 + m_2 g h_c \\
  46   h_c &= \frac{v_b^2}{2g} + h
  47     = \frac{2gh\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}}{2g} + h
  48     = h\p({\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2} + 1}) \\
  49     &= h\p({\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}+\frac{m_1+m_2}{m_1+m_2}})
  50     = h\frac{m_1-m_2+m_1+m_2}{m_1+m_2}
  51     = \ans{\frac{2m_1 h}{m_1+m_2}}
  52 \end{align}
  53 \end{solution}