latex/problems/Serway_and_Jewett_8/problem03.63.tex

   1 % Requires the following code at some point after `\begin{document}`:
   2 %     \begin{asydef}
   3 %     usepackage("wtk_cmmds");
   4 %     \end{asydef}
   5 % This allows macros like `\vect{}` to be used in 3D graphics.  See
   6 %   https://sourceforge.net/tracker/?func=detail&atid=685683&aid=3155798&group_id=120000
   7 % for details.
   8
   9 \begin{problem*}{3.63}
  10 A rectangular parallelpiped has dimensions $a$, $b$, and $c$ as shown
  11 in Figure 3.63.  \Part{a} Obtain a vector expression for the face
  12 diagonal vector $\vect{R}_1$.  \Part{b} What is the magnitude of this
  13 vector?  \Part{c} Notice that $\vect{R}_1$, $c\khat$, and $\vect{R}_2$
  14 make a right triangle.  Obtain a vector expression for the body
  15 diagonal vector $\vect{R}_2$.
  16 \begin{center}
  17 \begin{asy}[inline=true,attach=false]
  18 import graph3;
  19 import Mechanics;
  20
  21 currentprojection = perspective(10cm,4cm,5cm);
  22
  23 real u = 2.5cm;
  24
  25 real a = 1u;
  26 real b = 1u;
  27 real c = 1u;
  28
  29 xaxis3(Label("$x$"), 0, 1.5a);
  30 yaxis3(Label("$y$"), 0, 1.5b);
  31 zaxis3(Label("$z$"), 0, 1.5c);
  32
  33
  34 draw(xscale3(a)*yscale3(b)*zscale3(c)*unitcube, surfacepen=opacity(0.2), meshpen=currentpen);
  35
  36 // Distance3?
  37 draw((0, 0, 1.3c) -- (a, 0, 1.3c), Arrows3);
  38 label(Label("$a$", (0, 0, 1)), (a/2, 0, 1.3c));
  39 draw((0, 0, 1.3c) -- (0, b, 1.3c), Arrows3);
  40 label(Label("$b$", (0, 0, 1)), (0, b/2, 1.3c));
  41 draw((0, 1.3b, 0) -- (0, 1.3b, c), Arrows3);
  42 label(Label("$c$", (0, 1, 0)), (0, 1.3b, c/2));
  43
  44
  45 draw(surface((0,0,0)--(a,b,0)--(a,b,c)--(0,0,c)--cycle), yellow+opacity(0.3), nolight, meshpen=dashed);
  46 // Vector3?
  47 //Vector A = Vector((0,0,0), (a,b,0));
  48 draw((0,0,0) -- (a,b,0), Arrow3);
  49 label(Label("$\vect{R}_1$", (1,1,0)), position=(a,b,0));
  50 draw((0,0,0) -- (a,b,c), Arrow3);
  51 label(Label("$\vect{R}_2$", (0,1,-1)), (a,b,c));
  52 \end{asy}
  53 \end{center}
  54 \end{problem*}
  55
  56 \begin{solution}
  57 \Part{a}
  58 \begin{equation}
  59   \vect{R}_1 = \ans{a\ihat + b\jhat}
  60 \end{equation}
  61
  62 \Part{b}
  63 \begin{equation}
  64   |\vect{R_1}| = \sqrt{\vect{R}_{1,x}^2 + \vect{R}_{1,y}^2}
  65     = \ans{\sqrt{a^2 + b^2}}
  66 \end{equation}
  67
  68 \Part{c}
  69 \begin{equation}
  70   \vect{R}_2 = \vect{R}_1 + c\khat
  71     = \ans{a\ihat + b\jhat + c\khat}
  72 \end{equation}
  73 \end{solution}