latex/problems/Serway_and_Jewett_8/problem03.36.tex

   1 \begin{problem*}{3.36}
   2 Three displacement vectors of a croquet ball are shown in Figure
   3 P3.36, where $|\vect{A}| = 20.0\U{units}$, $|\vect{B}| =
   4 40.0\U{units}$, and $|\vect{C}| = 30.0\U{units}$.  Find \Part{a} the
   5 resultant in unit-vector notation and \Part{b} the magnitude and
   6 direction of the resultant displacement.
   7 \begin{center}
   8 \begin{asy}
   9 import graph;
  10 import Mechanics;
  11
  12 real u = 0.06cm;
  13
  14 pair a = 20u * dir(90);
  15 pair b = 40u * dir(45);
  16 pair c = 30u * dir(-45);
  17
  18 Vector A = Vector((0,0), mag=length(a), dir=degrees(a), "$\vect{A}$");
  19 A.draw();
  20 Vector B = Vector((0,0), mag=length(b), dir=degrees(b), "$\vect{B}$");
  21 B.draw();
  22 Vector C = Vector((0,0), mag=length(c), dir=degrees(c), "$\vect{C}$");
  23 C.draw();
  24
  25 xaxis("$x$");
  26 yaxis("$y$");
  27 \end{asy}
  28 \end{center}
  29 \end{problem*}
  30
  31 \begin{solution}
  32 \Part{a}
  33 \begin{center}
  34 \begin{asy}
  35 import graph;
  36 import Mechanics;
  37
  38 real u = 0.06cm;
  39
  40 pair a = 20u * dir(90);
  41 pair b = 40u * dir(45);
  42 pair c = 30u * dir(-45);
  43 pair r = a + b + c;
  44
  45 Vector A = Vector((0,0), mag=length(a), dir=degrees(a), "$\vect{A}$");
  46 A.draw();
  47 Vector B = Vector(a, mag=length(b), dir=degrees(b), "$\vect{B}$");
  48 B.draw();
  49 Vector C = Vector(a+b, mag=length(c), dir=degrees(c), "$\vect{C}$");
  50 C.draw();
  51 Vector R = Vector((0,0), mag=length(r), dir=degrees(r), "$\vect{r}$");
  52 R.draw(labelOffset=-r/2);
  53
  54 xaxis("$x$");
  55 yaxis("$y$");
  56 \end{asy}
  57 \end{center}
  58 The resultant displacement is
  59 \begin{align}
  60   \vect{r} &= \vect{A} + \vect{B} + \vect{C} \\
  61     &= \{  20.0\jhat
  62         + 40.0[\cos(45\dg)\ihat + \sin(45\dg)\jhat]
  63         + 30.0[\cos(-45\dg)\ihat + \sin(-45\dg)\jhat]\}\U{units} \\
  64     &= (49.5\ihat + 27.1\jhat)\U{units}
  65 \end{align}
  66
  67 \Part{b}
  68 \begin{align}
  69   |\vect{r}| &= \sqrt{\vect{r}_x^2 + \vect{r}_y^2}
  70     = \sqrt{49.5^2 + 27.1^2}\U{units}
  71     = \ans{56.4\U{units}} \\
  72   \theta_\vect{r} &= \arctan\p({\frac{27.1}{49.5}}) = \ans{28.7\dg}
  73 \end{align}
  74 \end{solution}