latex/problems/Serway_and_Jewett_4_venkat/problem09.V17.tex

   1 \begin{problem*}{9.V17}
   2 A particle of rest mass $1.2\U{MeV/$c^2$}$ and kinetic energy
   3 $2.0\U{MeV}$ collides with a stationary particle of rest mass
   4 $2.4\U{MeV/$c^2$}$.  After the collision the particles stick
   5 together.  \Part{a} What is the speed of the first particle before the
   6 collision?  \Part{b} What is the total energy of the first particle
   7 before the collision?  \Part{c} What is the total initial momentum of
   8 the system?  \Part{d} What is the rest mass of the system after the
   9 collison?  \Part{e} What is the total kinetic energy after the
  10 collision?  \Part{f} What conclusions can you draw from your ansers in
  11 parts \Part{d} and \Part{e}?
  12 \end{problem*} % Prof. Venkat lecture problem #17
  13
  14 \begin{solution}
  15 \Part{a}
  16 Using our results from Problem 9.35,
  17 \begin{align}
  18   \gamma_{i,1} &= \frac{K}{m_{0,1} c^2} + 1 = \frac{2.0}{1.2} + 1 = 2.67 \\
  19   v_{i,1} &= \sqrt{1-\frac{1}{\gamma_{i,1}^2}} c = \ans{0.927c}
  20 \end{align}
  21
  22 \Part{b}
  23 \begin{equation}
  24   E_{i,1} = \gamma m_{0,1} c^2 = 2.67 \cdot 1.2\U{MeV} = \ans{3.20\U{MeV}}
  25 \end{equation}
  26
  27 \Part{c}
  28 \begin{equation}
  29   p_i = m_{i,1}v_{i,1} = \gamma_{i,1} m_0 v_{i,1}
  30     = 2.67 \cdot 1.2\U{MeV/$c^2$} \cdot 0.927c
  31     = \ans{2.97\U{MeV/$c$}}
  32 \end{equation}
  33
  34 \Part{d}
  35 Conserving momentum
  36 \begin{equation}
  37   p_i = p_f = \gamma_f m_{0,f} v_f = 2.97\U{MeV/$c$}
  38 \end{equation}
  39 Conserving energy
  40 \begin{equation}
  41   E_i = (1.2+2.0+2.4)\U{MeV} = 5.6\U{MeV} = E_f = \gamma_f m_{0,f} c^2
  42 \end{equation}
  43 Using the relativistic energy-momentum relationship (Eqn.~9.22)
  44 \begin{align}
  45   E_f^2 &= p_f^2 c^2  +  m_{0,f}^2 c^4 \\
  46   m_{0,f} c^2 &= \sqrt{E_f^2 - p_f^2 c^2}
  47     = \sqrt{(5.6\U{MeV})^2 - (2.97\U{MeV})^2}
  48     = 4.75\U{MeV} \\
  49   m_{0,f} &= \ans{4.75\U{MeV/$c^2$}}
  50 \end{align}
  51
  52 ``But wait!'' you might say, ``In our mechanics class, we learned that
  53 you only conserve momentum for inelastic collisions.  You conserve
  54 both momentum and energy for elastic collisions.''  If so, your memory
  55 is tricking you.  For elastic collisions (and not for inelastic
  56 collisions), you conserve \emph{kinetic energy}.  Note that we don't
  57 conserve kinetic energy (see \Part{f}), but the total energy, which is
  58 always conserved in isolated systems.
  59
  60 \Part{e}
  61 The kinetic energy is the increase in energy over the rest energy
  62 \begin{equation}
  63   K_f = E_f - m_{0,f} c^2 = 5.6\U{MeV} - 4.75\U{MeV} = \ans{0.852\U{MeV}}
  64 \end{equation}
  65
  66 \Part{f}
  67 $2.0-0.852=1.15\U{MeV}$ of initial kinetic energy is converted to rest
  68 energy during the collision.  The increased rest energy shows that the
  69 internal energy of the composite partical has increased.  For example,
  70 if the particles were lumps of clay, they would be warmer after the
  71 collision, and this increased thermal energy would show up as an
  72 increased rest mass.  Or if the particles were oppositely charged, the
  73 increased electric potential energy would show up in the increased
  74 rest mass.
  75 \end{solution}