latex/problems/Serway_and_Jewett_4/problem22.48.tex

   1 \begin{problem*}{22.48}
   2 In Bohr's 1913 model of the hydrogen atom, the electron is in a
   3 circular orbit of radius $r = 5.29\E{-11}\U{m}$, and its speed is $v =
   4 2.19\E{6}\U{m/s}$.
   5 \Part{a} What is the magnitude of the magnetic moment \vect{\mu} due to the
   6 electron's motion?
   7 \Part{b} If the electron moves in a horizontal circle,
   8 counterclockwise as seen from above, what is the direction of \vect{\mu}?
   9 \end{problem*} % problem 22.48
  10
  11 \begin{solution}
  12 \Part{a}
  13 The magnetic moment is defined on page 742 as
  14 \begin{equation}
  15  \vect{\mu} = I \vect{A}
  16 \end{equation}
  17
  18 The area swept out by our electron is just
  19 \begin{equation}
  20  A =\pi r^2
  21 \end{equation}
  22
  23 The current is the amount of charge circling the nucleus in a unit
  24 time.
  25 Because
  26 \begin{equation}
  27  \Delta x = v \Delta t
  28 \end{equation}
  29 The time $\tau$ taken for an entire circuit is
  30 \begin{equation}
  31  \tau = \frac{\Delta x}{v} = \frac{2 \pi r}{v}
  32 \end{equation}
  33 The current is then given by
  34 \begin{equation}
  35  I = \frac{\Delta q}{\Delta t} = \frac{q_e v}{2 \pi r}
  36 \end{equation}
  37
  38 Plugging $I$ and $A$ into our moment equation
  39 \begin{equation}
  40  \mu = \frac{q_e v}{2 \pi r}\cdot \pi r^2 = (q_e v r)/2 =
  41  \ans{9.27\E{-24}\U{A m$^2$}}
  42 \end{equation}
  43
  44 The direction of the current is opposite the direction of the electron
  45 (because the electron has negative charge), so the direction of
  46 \vect{\mu} is down.
  47 \end{solution}