latex/problems/Serway_and_Jewett_4/problem21.32.tex

   1 \begin{problem*}{21.32}
   2 Four resistors are connected to a battery as shown in Figure P21.32.
   3 The current in the battery is $I$, the battery emf is $\epsilon$, and
   4 the resistor values are $R_1 = R$, $R_2 = 2R$, $R_3 = 4R$, and $R_4 =
   5 3R$.
   6 \Part{a} Rank the resistors according to the potential difference
   7 across them, form largest to smallest.  Note any cases of equal
   8 potential difference.
   9 \Part{b} Determine the potential difference across each resistor in
  10 terms of $\epsilon$.
  11 \Part{c} Rank the resistors according to the current in them, from
  12 largest to smallest.  Note any cases of equal current.
  13 \Part{d} Determine the current in each resistor in terms of $I$.
  14 \Part{e} If $R_3$ is increased, what happens to the current in each of
  15 the resistors?
  16 \Part{f} In the limit that $R_3 \rightarrow \infty$, what are the new
  17 values of the current in each resistor in terms of $I$, the original
  18 current in the battery?
  19 \begin{center}
  20 \begin{empfile}[7]
  21 \begin{emp}(0,0)
  22   input makecirc; % circuit drawing functions
  23   initlatex("");
  24   pair N[];
  25   numeric dx, dy;
  26   dx := 2cm;
  27   dy := 1cm;
  28   battery.B(origin, 90, "\mathcal{E}", "");
  29   resistor.A(B.B.p, normal, 90, "R_1", "$R$");
  30   N[0] := B.B.n + (dx,0);
  31   N[1] := R.A.r + (dx,0);
  32   centerto.A(R.A.l, R.A.r, dx, res);
  33   resistor.D(A, normal, 90, "R_4", "$3R$");
  34   resistor.B(N[1]+(dx/2,0), normal, 0, "R_2", "$2R$");
  35   resistor.C(N[0]+(dx/2,0), normal, 0, "R_3", "$4R$");
  36   centreof.B(R.A.r, N[1], cur);
  37   current.A(c.B, phi.B, "I", "");
  38   centreof.C(R.B.r, R.C.r, cur);
  39   current.B(c.C, phi.C, "I_2", "");
  40   centreof.D(R.D.l, N[0], cur);
  41   current.C(c.D, phi.D, "I_3", "");
  42   wire(R.A.r, R.D.r,rlsq);
  43   wire(B.B.n, R.D.l,rlsq);
  44   wire(N[1], R.B.l,rlsq);
  45   wire(N[0], R.C.l,rlsq);
  46   wire(R.B.r, R.C.r,nsq);
  47   draw N[0] withpen pencircle scaled 3pt;
  48   draw N[1] withpen pencircle scaled 3pt;
  49 \end{emp}
  50 \end{empfile}
  51 \end{center}
  52 \end{problem*}
  53
  54 \begin{solution}
  55 \Part{a}
  56 $R_2$ and $R_3$ both have $I_2$ passing through them, so from Ohm's
  57 law we know $V_2=I_2 R_2 < V_3=I_2 R_3$, because $R_2 < R_4$.  $R_4$
  58 and the equivalent resistance $R_s=R_2+R_3$ are in parallel, so they
  59 have the same voltage across them.  Because $V_4=V_s=V_2+V_4$, the
  60 voltage $V_4$ across $R_4$ is greater than either $V_2$ or $V_3$.
  61 Finally, the equivalent resistance of $R_4$ and $R_s$ in parallel is
  62 given by
  63 $$
  64   R_p=\p({\frac{1}{R_4}+\frac{1}{R_s}})^{-1}
  65      =\p({\frac{1}{3R}+\frac{1}{6R}})^{-1}
  66      =3R\p({1+\frac{1}{2}})^{-1}
  67      =3R\cdot\frac{2}{3}
  68      =2R \;,
  69 $$
  70 so $R_p > R_1$.  Since both $R_p$ and $R_1$ have $I$ going through
  71 them, and $V_p=V_4=V_s > V_1$.  We still need to place $V_1$ relative
  72 to $V_2$ and $V_3$, so we use the formula for voltage across series
  73 resistors
  74 $$
  75   I=\frac{V_A}{R_A}=\frac{V_B}{R_B} \;.
  76 $$
  77 $R_p=2R_1$, so $V_1=V_p/2$, and $R_3=2R_2$, so $V_3=2V_2$.
  78 $V_3 + V_2=V_p$, so $V_3=2/3\cdot V_p$ and $V_2=V_p/3$.
  79 The final ranking is therefore $\ans{V_4=V_p > V_3=2/3\cdot V_p > V_1=V_p/2 > V_2=V_p/3}$.
  80
  81 \Part{b}
  82 We've done most of the work in \Part{a}.
  83 $$
  84   \mathcal{E}=V_1 + V_p=\frac{3 V_p}{2} \;,
  85 $$
  86 so
  87 \begin{align}
  88   V_4 &= V_p =\ans{\frac{2\mathcal{E}}{3}} \\
  89   V_1 &= \frac{V_p}{2}=\ans{\frac{\mathcal{E}}{3}} \\
  90   V_2 &= \frac{V_p}{3}=\ans{\frac{2\mathcal{E}}{9}} \\
  91   V_3 &= \frac{2V_p}{3}=\ans{\frac{4\mathcal{E}}{9}}
  92 \end{align}
  93
  94 \Part{c}
  95 $I=I_2 + I_3$, and all our currents are positive as we've labled them,
  96 so $I$ is greater than $I_2$ and $I_3$.  $R_4=3R < R_s=6R$, so $I_3 >
  97 I_2$.  The final ranking is therefore $I > I_3 > I_2$, with $I_2$
  98 passing through both $R_2$ and $R_3$.
  99
 100 \Part{d}
 101 To be quantitative about \Part{c}, we can use Ohm's law for each current:
 102 \begin{align}
 103   I &= \frac{V_1}{R_1}=\frac{\mathcal{E}}{3}\cdot\frac{1}{R}=\frac{\mathcal{E}}{3R} \\
 104   I_3 &= \frac{V_p}{R_4}=\frac{2\mathcal{E}}{3}\cdot\frac{1}{3R}=\frac{2}{3}\cdot\frac{\mathcal{E}}{3R}=\ans{\frac{2I}{3}}\\
 105   I_2 &= \frac{V_p}{R_s}=\frac{2\mathcal{E}}{3}\cdot\frac{1}{6R}=\frac{1}{3}\cdot\frac{\mathcal{R}}{3R}=\ans{\frac{I}{3}}\;.
 106 \end{align}
 107 We see that $I=I_2+I_3$, as it should by Kirchhoff's junction rule.
 108
 109 \Part{e}
 110 If $R_3$ increases, $R_s$ increases and $R_p$ increases, so $I_2$ and
 111 $I$ decrease.  The change in $I_3$ is a balance of increased flow
 112 relative to $I_2$ and decreased overall $I$.  We see that less current
 113 through $I$ drops $V_1$, but $V_1+V_4=\mathcal{E}$ which doesn't
 114 change, so $V_4$ increases, so $I_3$ increases.
 115
 116 \Part{f}
 117 As $R_3 \rightarrow \infty$, $I_2$ is choked off entirely, so $I=I_3$.
 118 So $I$ flows through $R_1$ and $R_4$, and nothing flows through $R_2$
 119 and $R_3$.
 120 \end{solution}