latex/problems/Serway_and_Jewett_4/problem20.69.tex

   1 \begin{problem*}{20.69}
   2 The $x$ axis is the symmetry axis of a stationary, uniformly charged
   3 ring of radius $R$ and charge $Q$ (Fig.~P20.69).  A particle with
   4 charge $Q$ and mass $M$ is located at the center of the ring.  When it
   5 is displaced slightly, the point charge accelerates along the $x$ axis
   6 to infinity.  Show that the ultimate speed of the point charge is
   7 \begin{equation}
   8  v = \left(\frac{2 k_e Q^2}{MR}\right)^{1/2}
   9 \end{equation}
  10 \end{problem*} % problem 20.69
  11
  12 \begin{solution}
  13 Conserving energy, the inital energy is entirely electric,
  14 \begin{equation}
  15  E_i = U_e = k_e \frac{Q^2}{R}
  16 \end{equation}
  17 because all the ring charge is a distance $R$ from the particle.
  18
  19 The final energy is entirely kinetic
  20 \begin{equation}
  21  E_f = K = \frac{1}{2} M v^2
  22 \end{equation}
  23
  24 So
  25 \begin{align}
  26  k_e \frac{Q^2}{R} = E_i &= E_f = \frac{1}{2} M v^2 \\
  27  v &= \ans{\sqrt{\frac{2 k_e Q^2}{M R}}}
  28 \end{align}
  29 \end{solution}