latex/problems/Serway_and_Jewett_4/problem20.41.tex

   1 \begin{problem*}{20.41}
   2 Four capacitors are connected as shown in Figure P20.41.
   3 \Part{a} Find the equivalent capacitance between points $a$ and $b$.
   4 \Part{b} Calculate the charge on each capacitor, taking
   5  $\Delta V_{ab} = 15.0\U{V}$
   6 \end{problem*} % problem 20.41
   7
   8 \begin{solution}
   9 \Part{a}
  10 First consider the top two capacitors, $C_1 = 15.0\U{$\mu$F}$ and
  11  $C_2 = 3.00\U{$\mu$F}$.
  12 They are in series, so the effective capacitance of the top line is
  13  given by
  14 \begin{equation}
  15  C_t = \left(\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}\right)^{-1}
  16      = 2.50\U{$\mu$F}
  17 \end{equation}
  18
  19 We can find the effective capacitance of the box, because $C_t$ is
  20 in parallel with $C_3 = 6.00\U{$\mu$F}$.
  21 \begin{equation}
  22  C_b = C_t + C_3 = 8.50\U{$\mu$C}
  23 \end{equation}
  24
  25 We can find the total equivalent capacitance, because $C_b$ is in
  26 series with $C_4 = 20.0\U{$\mu$F}$.
  27 \begin{equation}
  28  C_{eq} = \left(\frac{1}{C_b} + \frac{1}{C_4}\right)^{-1}
  29         = \ans{ 5.96\U{$\mu$F}}
  30 \end{equation}
  31
  32 \Part{b}
  33 Working backwards to find the charges, using $Q = CV$, we have
  34 \begin{equation}
  35  Q_4 = Q_b = C_{eq} V_{ab} = \ans{89.5\U{$\mu$C}}
  36 \end{equation}
  37 So the voltage across the box is
  38 \begin{equation}
  39  V_b = \frac{Q_b}{C_b} = 10.5\U{V}
  40 \end{equation}
  41 So
  42 \begin{equation}
  43  Q_3 = C_3 V_b = \ans{63.2\U{$\mu$C}}
  44 \end{equation}
  45 and
  46 \begin{equation}
  47  Q_1 = Q_2 = C_t V_b = \ans{26.3\U{$\mu$C}}
  48 \end{equation}
  49 \end{solution}