latex/problems/Serway_and_Jewett_4/problem20.40.tex

   1 \begin{problem*}{20.40}
   2 Two capacitors, $C_1 = 5.00\U{$\mu$F}$ and $C_2 = 12.0\U{$\mu$F}$, are
   3 connected in series, and the resulting combination is connected to a
   4 $\Delta V = 9.00\U{V}$ battery.  Find
   5  \Part{a} the equivalent capacitance of the combination,
   6  \Part{b} the potential difference across each capacitor, and
   7  \Part{c} the charge on each capacitor.
   8 \end{problem*} % problem 20.40
   9
  10 \begin{solution}
  11 \Part{a}
  12 The wire connecting the inner plates of $C_1$ and $C_2$ contains no
  13 net charge, so we know that any charge on the inner plate of $C_1$
  14 must have come from the inner plate of $C_2$.  Because these charges
  15 are equal and opposite, the total charge $Q$ on each capacitor
  16 seperately is the same for both ($Q_1 = Q_2$).  So using the
  17 definition of capacitance for both cases we have
  18 \begin{align}
  19  \Delta V_1 &= Q / C_1 \label{eqn.V1} \\
  20  \Delta V_2 &= Q / C_2 \label{eqn.V2} \\
  21  \Delta V &= \Delta V_1 + \Delta V_2
  22            = Q \left( \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} \right)
  23            = \frac{Q}{C_{eq}} \label{eqn.VQC}
  24 \end{align}
  25 So
  26 \begin{equation}
  27  C_{eq} = \left(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\right)^{-1}
  28         = \left(\frac{1}{5.00\E{-6}\U{F}}+\frac{1}{12.0\E{-6}\U{F}}\right)^{-1}
  29         = \ans{3.53\U{$\mu$F}}
  30 \end{equation}
  31
  32 \Part{c}
  33 Plugging back into equation \ref{eqn.VQC} we have
  34 \begin{equation}
  35  Q = \Delta V \cdot C_{eq}
  36    = 3.53\U{$\mu$F}\cdot 9.00\U{V} = \ans{31.8\U{$\mu$C}}
  37 \end{equation}
  38
  39 \Part{b}
  40 And plugging into equations \ref{eqn.V1} and \ref{eqn.V2} we have
  41 \begin{align}
  42  \Delta V_1 &= \frac{31.8\E{-6}\U{C}}{5.00\E{-6}\U{F}} = \ans{6.35\U{V}} \\
  43  \Delta V_2 &= \frac{31.8\E{-6}\U{C}}{12.0\E{-6}\U{F}} = \ans{2.65\U{V}} \\
  44 \end{align}
  45 \end{solution}