latex/problems/Serway_and_Jewett_4/problem20.24.tex

   1 \begin{problem*}{20.24}
   2 Consider a ring of radius $R$ with the total charge $Q$ spread
   3 uniformly over its perimeter.  What is the potential difference
   4 between the point at the center of the ring and a point on its axis a
   5 distance $d=2R$ from the center?
   6 \end{problem*} % problem 20.24
   7
   8 \begin{solution}
   9 From the first week's recitation (P19.19), we have the electric field
  10 along the axis due to the ring as
  11 \begin{equation}
  12  \vect{E} = \frac{k_e x Q}{(x^2 + R^2)^{3/2}}\ihat
  13 \end{equation}
  14 So the potential drop from $0$ to $d$ is given by
  15 \begin{equation}
  16  \Delta V = -\int_0^d E_x dx
  17           = - k_e Q \int_0^d \frac{x \cdot dx}{(x^2 + R^2)^{3/2}}
  18 \end{equation}
  19 Substituting $u = x^2 + R^2$ so $du = 2x dx$ we have
  20 \begin{equation}
  21  \Delta V = - k_e Q \int \frac{1/2 \cdot du}{u^{3/2}}
  22           = - \frac{1}{2} k_e Q \frac{-2}{\sqrt{u}}
  23           = \frac{k_e Q}{\sqrt{u}}
  24 \end{equation}
  25 And plugging back in in terms of $x$
  26 \begin{equation}
  27  \Delta V = \left.\frac{k_e Q}{\sqrt{x^2 + R^2}}\right|_0^d
  28           = \frac{k_e Q}{\sqrt{d^2 + R^2}} - \frac{k_e Q}{R}
  29           = k_e Q \left(\frac{1}{\sqrt{(4+1)R^2}} - \frac{1}{R}\right)
  30           = \frac{k_e Q}{R} \left(\frac{1}{\sqrt{5}}-1\right)
  31           = \ans{-0.533 \frac{k_e Q}{R}}
  32 \end{equation}
  33 \end{solution}