latex/problems/Serway_and_Jewett_4/problem19.59.tex

   1 \begin{problem5}{19.59}
   2 Two small spheres of mass $m$ are suspended from strings of length $l$
   3 that are connected at a common point.  One sphere has charge $Q$, and
   4 the other has charge $2Q$.  The strings make angles $\theta_1$ and
   5 $\theta_2$ with the vertical.
   6 \Part{a} How are $\theta_1$ and $\theta_2$ related?
   7 \Part{b} Assume that $\theta_1$ and $\theta_2$ are small.
   8  Show that the distance $r$ between the spheres is given by
   9  \begin{equation}
  10   r \approx \left( \frac{4 k_e Q^2 l}{mg} \right)^{1/3}
  11  \end{equation}
  12 \end{problem*} % problem 19.59
  13
  14 \empaddtoprelude{
  15   pair A, B, C, D, mFe, mFg;
  16   numeric L, theta, mFe, mFg;
  17   L := 3cm; theta := 15;
  18   mFe := 10pt; mFg := 20pt; % in the big picture (b)
  19   A := L*dir(-90-theta);  B := (0cm,0cm);  C := L*dir(-90+theta); D := L*dir(-90);
  20 }
  21
  22 \begin{solution}
  23 \begin{center}
  24 \begin{empfile}[5a]
  25 \begin{emp}(0, 0)
  26   pair Ae, At, pFe, pFg;
  27   %Ap := A / cosd theta; % extend R as deep as the vertical
  28   Ae := A + unitvector(A) * 4mFg / cosd theta; % extend R as deep as Fg
  29   At := A + (unitvector(A) rotated -90) * 4mFe / cosd theta; % extend as far out as Fe
  30   pFe := A-(4mFe,0);    % tip of electric force
  31   pFg := A-(0,4mFg);    % top of gravitational force
  32   dotlabel.bot(" ", B);
  33   draw A -- B; % broken
  34   draw B -- D dashed evenly;  % drop vertical from the pivot
  35   label.bot(btex $\theta_1$ etex, draw_langle(A, B, D, .6L));
  36   % draw forces
  37   label.bot(btex $F_E$ etex, draw_force(C,A,4mFe));
  38   label.bot(btex $F_g$ etex, draw_force(A+dir(90),A,4mFg));
  39   % draw axes
  40   drawarrow A -- Ae; % extend string radius
  41   drawarrow A -- At; % draw tangential axis head
  42   draw A -- (At rotatedabout(A, 180)); % and tangential axis tail
  43   label.top(btex $x_t$ etex, At);
  44   label.lft(btex $x_r$ etex, Ae);
  45   % label force angles
  46   label.lft(btex $\theta_1$ etex, draw_langle(At, A, pFe, 3mFe));
  47   label.bot(btex $\theta_1$ etex, draw_langle(Ae, A, pFg, .6L));
  48   draw_right_angle(At, A, Ae, .7mFe);
  49   draw_right_angle(pFe, A, pFg, 1mFe);
  50   % draw charge
  51   draw_pcharge(A, 4pt);
  52 \end{emp}
  53 \end{empfile}
  54 \hspace{1cm}
  55 \begin{empfile}[5b]
  56 \begin{emp}(0, 0)
  57   dotlabel.bot(" ", B);
  58   draw A -- B -- C;
  59   draw B -- D dashed evenly;
  60   label.bot(btex $\theta_1$ etex, draw_langle(A, B, D, .6L));
  61   label.bot(btex $\theta_2$ etex, draw_langle(D, B, C, .6L));
  62   label.lft(btex $F_E$ etex, draw_force(C,A,mFe));
  63   label.bot(btex $F_g$ etex, draw_force(A+dir(90),A,mFg));
  64   draw_pcharge(A, 4pt);
  65   draw_pcharge(C, 6pt);
  66   labeloffset := 8pt;
  67   label.rt(btex $m$ etex, A);
  68   label.rt(btex $m$ etex, C);
  69   label.ulft(btex $Q$ etex, A);
  70   label.bot(btex $2Q$ etex, C);
  71 \end{emp}
  72 \end{empfile}
  73 \end{center}
  74 \Part{a}
  75 Assuming that the charges are not rotating about each other, the
  76 forces on each charge must cancel.  The forces on each sphere are
  77 gravity $F_g = mg$, electrostatic $F_E = k_e 2Q^2/r^2$, and tension
  78 $T$.  The tension will automatically handle canceling forces in the
  79 radial direction, so we need only consider the tangential direction.
  80 Let us assume that $F_E$ is purely in the horizontal direction
  81 (see \Part{Note}).  Summing the tangential forces on the first sphere
  82 \begin{align}
  83  0 &= F_E \cos\theta_1 - F_g \sin\theta_1 \\
  84  \tan\theta_1 &= \frac{F_E}{F_g}
  85 \end{align}
  86 And on the second sphere $\tan\theta_2 = \frac{F_E}{F_g}$
  87  so $\theta_1 = \theta_2 = \theta$.
  88
  89 \Part{b}
  90 \begin{align}
  91  r &= 2 l \sin\theta
  92     \approx 2 l \tan\theta
  93     = 2 l \frac{F_E}{F_g}
  94     = 2 l \frac{k_e 2 Q^2 / r^2}{mg} \\
  95  r &\approx \left( \frac{4 l k_e Q^2}{mg} \right)^{1/3} \;,
  96 \end{align}
  97 where we used the small angle approximation
  98 $\sin\theta\approx\tan\theta$ for small $\theta$.
  99
 100 \Part{Note} Why $\vect{F}_E$ is horizontal.
 101
 102 Let $q$ be the charge on the first mass and $Q$ be the charge on the
 103 second.  The force of $1$ on $2$ is given by $F_{12} = k_e
 104 qQ\rhat_{12}/r^2$.  This is identical to the force of $1$ on $2$ that
 105 we would get if we had put $Q$ on $1$ and $q$ on $2$ (let us say ``the
 106 electric force does not care about which mass has which charge'').
 107 The only difference between the two masses is the charge, and the only
 108 effect of that difference (the electrostatic force) does not care
 109 about the difference, so the final situation must be symmetric
 110 ($\theta_1 = \theta_2$ [no calculation required :p] and $\vect{r}$ is
 111 horizontal).  Because $\vect{F_E} \propto \rhat_{12}$ it must also be
 112 horizontal.
 113 \end{solution}