latex/problems/Serway_and_Jewett_4/problem19.55.tex

   1 \begin{problem*}{19.55}
   2 Four identical point charges ($q = +10.0\U{$\mu$C}$) are located on
   3 the corners of a rectangle as shown in Figure P19.55.  The dimensions
   4 of the rectangle are $L = 60.0\U{cm}$ and $W = 15.0\U{cm}$.  Calculate
   5 the magnitude and direction of the resultant electric force exerted on
   6 the charge at the lower left corner by the other three charges.
   7 \end{problem*} % problem 19.55
   8
   9 \empaddtoprelude{
  10   numeric a;
  11   pair A, B, C, D;
  12   a := 1cm;
  13   A := (0, a); % q1, labeled CCW from upper left
  14   B := origin; % q2
  15   C := (4a, 0); % q3
  16   D := (4a, a); % q4
  17   def drawE =
  18     label.rt("W", draw_length(C, D, 8pt));
  19     label.bot("L", draw_length(B, C, 8pt));
  20     labeloffset := 5pt;
  21     draw_pcharge(A, 3pt);
  22     label.bot(btex $q_1$ etex, A);
  23     draw_pcharge(B, 3pt);
  24     label.top(btex $q_2$ etex, B);
  25     draw_pcharge(C, 3pt);
  26     label.top(btex $q_3$ etex, C);
  27     draw_pcharge(D, 3pt);
  28     label.bot(btex $q_4$ etex, D);
  29   enddef;
  30 }
  31 \begin{nosolution}
  32 \begin{center}
  33 \begin{empfile}[3p]
  34 \begin{emp}(0cm,0cm)
  35   drawE;
  36 \end{emp}
  37 \end{empfile}
  38 \end{center}
  39 \end{nosolution}
  40
  41 \begin{solution}
  42 \begin{center}
  43 \begin{empfile}[3]
  44 \begin{emp}(0cm,0cm)
  45   label.rt(btex $F_{12}$ etex, draw_force(A, B, 2cm));
  46   label.lft(btex $F_{32}$ etex, draw_force(C, B, .5cm));
  47   label.bot(btex $F_{42}$ etex, draw_force(D, B, .48cm));
  48   draw A--(D+(a/2,0)) dashed evenly;
  49   draw A--B dashed evenly;
  50   draw B--D dashed evenly;
  51   label.top(btex $\theta$ etex, draw_lout_angle(D+(1,0),D,B, a/3));
  52   draw_right_angle(B, A, D, a/3);
  53   draw_ijhats((5.5*a, a/3), 0, a/3);
  54   drawE;
  55 \end{emp}
  56 \end{empfile}
  57 \begin{center}
  58 \begin{empfile}[3]
  59 \begin{emp}(0cm,0cm)
  60   label.rt(btex $F_{12}$ etex, draw_force(A, B, 2cm));
  61   label.lft(btex $F_{32}$ etex, draw_force(C, B, .5cm));
  62   label.bot(btex $F_{42}$ etex, draw_force(D, B, .48cm));
  63   draw A--(D+(a/2,0)) dashed evenly;
  64   draw A--B dashed evenly;
  65   draw B--D dashed evenly;
  66   label.top(btex $\theta$ etex, draw_lout_angle(D+(1,0),D,B, a/3));
  67   draw_right_angle(B, A, D, a/3);
  68   draw_ijhats((5.5*a, a/3), 0, a/3);
  69   drawE;
  70 \end{emp}
  71 \end{empfile}
  72 The unit vector \rhat\ diagonally across from the upper right is given by
  73 \begin{align}
  74  \rhat &= \cos\theta \ihat + \sin\theta \jhat \\
  75  \theta &= \arctan{W/L} + 180\dg = 194\dg \\
  76  \cos\theta &= -0.970 \\
  77  \sin\theta &= -0.243
  78 \end{align}
  79 So the electric field in the lower left corner is given by
  80 \begin{align}
  81  \vect{E} &= k_e \sum_i \frac{q_i}{r_i^2}\rhat_i
  82            = k_e \left(\frac{q}{L^2}(-\ihat)
  83                        + \frac{q}{(L^2 + W^2)}(\cos\theta\ihat + \sin\theta\jhat)
  84                        + \frac{q}{W^2}(-\jhat) \right) \\
  85           &= -k_e q \left[
  86                \left(\frac{1}{L^2} - \frac{\cos\theta}{L^2+W^2}\right)\ihat
  87                + \left(\frac{1}{W^2} - \frac{\sin\theta}{L^2+W^2}\right)\jhat
  88                     \right]
  89 \end{align}
  90
  91 So the magnitude of \vect{E} is given by
  92 \begin{equation}
  93  E = k_e q \sqrt{ \left(L^{-2} - \frac{\cos\theta}{L^2+W^2}\right)^2
  94                 + \left(W^{-2} - \frac{\sin\theta}{L^2+W^2}\right)^2 }
  95   = 4.08\E{6}\U{N/C}
  96 \end{equation}
  97 (Remembering to convert $L$ and $W$ to meters.)  And the direction
  98 $\phi$ (measured counter clockwise from \ihat) of \vect{E} is given by
  99 \begin{equation}
 100  \phi = \arctan\left(\frac{-W^{-2}+\frac{\sin\theta}{L^2+W^2}}{-L^{-2}+\frac{\cos\theta}{L^2+W^2}}\right) + 180\dg
 101         = \ans{263\dg}
 102 \end{equation}
 103 Where the $+180\dg$ is because the tangent has a period of $180\dg$,
 104 and the angle we want is in the backside $180\dg$.
 105
 106 $\vect{F} = q \vect{E}$ so the direction of \vect{F} is the same as
 107 the direction of \vect{E}.  The magnitude of \vect{F} is given by
 108 \begin{equation}
 109  F = 10.0\E{-6}\U{C} \cdot 4.08\E{6}\U{N/C} = \ans{40.8\U{N}}
 110 \end{equation}
 111 \end{solution}