latex/problems/Serway_and_Jewett_4/problem19.35.tex

   1 \begin{problem*}{19.35}
   2 A solid sphere of radius $R = 40.0\U{cm}$ has a total charge of $q =
   3 26.0\U{$\mu$C}$ uniformly distributed throughout its volume.
   4 Calculate the magnitude $E$ of the electric field
   5  \Part{a} $r_a = 0\U{cm}$,
   6  \Part{b} $r_b = 10.0\U{cm}$,
   7  \Part{c} $r_c = 40.0\U{cm}$, and
   8  \Part{d} $r_d = 60.0\U{cm}$
   9  from the center of the sphere.
  10 \end{problem1}
  11
  12 \begin{solution}
  13 The charge distribution is symmetric under rotations and reflections
  14 about the center of the sphere , so the electric field must also be
  15 symmetric under rotations and reflections about the center of the
  16 sphere.  So the electric field can only be a function of the radius
  17 $\vect{E}(r)$ (if it was a f'n of the angle, it wouldn't be symmetric
  18 under rotations), and it must be only in the radial direction
  19 $\vect{E}(r) = E(r)\rhat$\ (if it had non-radial components, it
  20 wouldn't be symmetric under reflections).
  21
  22 Because we have these insights from symmetry, we can use Gauss's Law
  23 to solve for $E(r)$
  24 \begin{align}
  25  \oint \vect{E}(\vect{r}) \cdot d\vect{A} &= \frac{q_{in}}{\epsilon_0} \\
  26  E(r) \oint \rhat \cdot d\vect{A} &= \frac{q_{in}}{\epsilon_0}
  27 \end{align}
  28 because $r$ is a constant over our surface of integration, $E(r)$ must
  29 also be constant, so we pull it out of the integral.  We also note
  30 that \rhat\ is going to be perpendicular to our surface at every point
  31 on it, so
  32 \begin{align}
  33  E(r) \oint dA = E(r)A &= \frac{q_{in}}{\epsilon_0} \label{eqn.symm_gauss} \\
  34  E(r) 4 \pi r^2 &= \frac{q_{in}}{\epsilon_0} \\
  35  E(r) &= \frac{q_{in}}{4 \pi \epsilon_0 r^2} \label{eqn.sphere_gauss}
  36 \end{align}
  37 (If this is confusing, you can look at the first bit of the Gauss's
  38 law section 19.9 page 624 in the book for their derivation, and
  39 Example 19.9 on page 627 for their take on this problem.)
  40
  41 For $r \le R$ (points $A$, $B$, and $C$) we have
  42 \begin{equation}
  43  q_{in} = q \frac{ 4/3 \cdot \pi r^3 }{ 4/3 \cdot \pi R^3 }
  44         = q \left(\frac{r}{R}\right)^3
  45 \end{equation}
  46 so
  47 \begin{align}
  48  E_\le(r) &= \frac{q r^3 / R^3}{4 \pi \epsilon_0 r^2}
  49            = \frac{q r}{4 \pi \epsilon_0 R^3} \\
  50  E_a &= \ans{0} \qquad \text{because $r = 0$} \\
  51  E_b &= \frac{26.0\E{-6}\U{C} \cdot 0.100\U{m}}{4 \pi \cdot 8.854\E{-12}\U{C$^2$/N$\cdot$m$^2$} \cdot (0.400\U{m})^3}
  52      = \ans{3.65\E{5}\U{N/C}}
  53 \end{align}
  54 And for $r \ge R$ (points $C$ and $D$) we have $q_{in} = q$, so
  55 \begin{align}
  56  E_\ge(r) &= \frac{q}{4 \pi \epsilon_0 r^2} \label{eqn.sphere_gauss_out} \\
  57  E_c &= \ans{1.46\E{6}\U{N/C}} \\
  58  E_d &= \ans{6.49\E{5}\U{N/C}}
  59 \end{align}
  60 \end{solution}