latex/problems/Serway_and_Jewett_4/problem19.16.tex

   1 \begin{problem*}{19.16}
   2 Consider the electric dipole shown in Figure P19.16.  Show that the
   3 electric field at a distant point on the $+x$ axis is $E_x \approx
   4 4k_eqa/x^3$.
   5 \end{problem*} % problem 19.16
   6
   7 \empaddtoprelude{
   8   pair A, B;
   9   numeric a;
  10   a := 1cm;
  11   A := (-a,0);
  12   B := (a, 0);
  13   C := (6a, 0);
  14   def drawC =
  15     drawarrow (A-(a,0))--(C+(a,0)) withpen pencircle scaled 0pt;
  16     draw_ncharge(A, 6pt);
  17     draw_pcharge(B, 6pt);
  18     label.top("0", draw_ltic(origin, 90, 0, 3pt, 0pt, black));
  19     dotlabel.bot("x", C);
  20     label.bot("a", draw_length(A, origin, 10pt));
  21     label.bot("a", draw_length(origin, B, 10pt));
  22     labeloffset := 8pt;
  23     label.top("-q", A);
  24     label.top("q", B);
  25   enddef;
  26 }
  27
  28 \begin{nosolution}
  29 \begin{center}
  30 \begin{empfile}[3p]
  31 \begin{emp}(0cm, 0cm)
  32   drawC;
  33 \end{emp}
  34 \end{empfile}
  35 \end{center}
  36 \end{nosolution}
  37
  38 \begin{solution}
  39 \begin{center}
  40 \begin{empfile}[3]
  41 \begin{emp}(0cm, 0cm)
  42   label.top(btex $E_{q}$ etex, draw_Efield(B, C, 18pt));
  43   label.top(btex $E_{-q}$ etex, draw_Efield(A, C, -16pt));
  44   drawC;
  45 \end{emp}
  46 \end{empfile}
  47 \end{center}
  48 Let us assume the point in question has a positive $x$ value (just
  49 reverse the sign if $x < 0$).
  50 \begin{equation}
  51  \vect{E} = k_e \sum_i \frac{q_i}{r_i^2}\rhat_i
  52           = k_e \left[\frac{q}{(x-a)^2}\ihat + \frac{-q}{(x+a)^2}\ihat\right]
  53 \end{equation}
  54 For $|x| \gg |c|$,
  55 \begin{equation}
  56  (x+c)^n = x^n \left(1+\frac{c}{x}\right)^n
  57          = x^n \left[1 + n\frac{c}{x} + \frac{n(n-1)}{2}\cdot\left(\frac{c}{x}\right)^2 + \ldots\right]
  58          \approx x^n (1 + n\frac{c}{x}) \;,
  59 \end{equation}
  60 because $(c/x)^2$ is very, very small.  (We are Taylor expanding
  61 $(x+c)^n$ as a function of $c/x$, and keeping only the first two
  62 terms.)  In our case, $n = -2$ and $c = \mp a$
  63 \begin{equation}
  64  \vect{E} = k_e \left[\frac{q}{x^2}\left(1-2\frac{-a}{x}\right) + \frac{-q}{x^2}\left(1-2\frac{a}{x}\right)\right]\ihat
  65           = k_e \frac{q}{x^2}\left(1+2\frac{a}{x} - 1+2\frac{a}{x}\right)\ihat
  66           = \ans{\frac{4 k_e q a}{x^3}\ihat}
  67 \end{equation}
  68 \end{solution}