latex/problems/Serway_and_Jewett_4/problem19.07.tex

   1 \begin{problem*}{19.7}
   2 Two identical conducting small spheres are placed with their centers
   3 $r = 0.300\U{m}$ apart.  One is given a charge of $q_1 = 12.0\U{nC}$
   4 and the other a charge of $q_2 = -18.0\U{nC}$.
   5 \Part{a} Find the electric force exerted by one sphere on the other.
   6 \Part{b} Next, the spheres are connected by a conducting wire.
   7 Find the electric force between the two after they have come to equilibrium.
   8 \end{problem*} % problem 19.7
   9
  10 \begin{solution}
  11 \Part{a}
  12 \begin{center}
  13 \begin{asy}
  14 import Mechanics;
  15 import ElectroMag;
  16
  17 real u = 200cm; // Length of 1 m on the page
  18 real Fscale = 5e9cm; // Length of 1 N on the page
  19 real qa = 12e-9;
  20 real qb = -18e-9;
  21
  22 Charge a = aCharge((0,0)*u, q=qa, L="$q_1$");
  23 Charge b = aCharge((0.03,0)*u, q=qb, L="$q_2$");
  24 Distance r = Distance(a.center, b.center, L="$r$");
  25 Vector Fab = CoulombForce(a, b, scale=Fscale, L="$F$");
  26 Vector Fba = CoulombForce(b, a, scale=Fscale, L="$F$");
  27 Fab.mag /= 10.0; // Not part of Fscale b/c of rounding
  28 Fba.mag /= 10.0;
  29
  30 r.draw();
  31 Fab.draw();
  32 Fba.draw();
  33 a.draw();
  34 b.draw();
  35 \end{asy}
  36 \end{center}
  37 \begin{equation}
  38  F = k_e \frac{q_1 q_2}{r^2}
  39    = 8.99\E{9}\U{N$\cdot$m$^2$/C$^2$} \frac{12.0\E{-9}\U{C}\cdot(-18.0)\E{-9}\U{C}}{(0.300\U{m})^2}
  40    = \ans{-2.16\E{-5}\U{N}}
  41 \end{equation}
  42 And the force is towards the other sphere for each sphere because
  43 opposites attract.
  44
  45 \Part{b}
  46 \begin{center}
  47 \begin{asy}
  48 import Mechanics;
  49 import ElectroMag;
  50
  51 real u = 200cm; // Length of 1 m on the page
  52 real Fscale = 5e9cm; // Length of 1 N on the page
  53 real qa = 12e-9;
  54 real qb = -18e-9;
  55
  56 Charge a = aCharge((0,0)*u, q=(qa+qb)/2, L="$Q/2$");
  57 Charge b = aCharge((0.03,0)*u, q=(qa+qb)/2, L="$Q/2$");
  58 Distance r = Distance(a.center, b.center, L="$r$");
  59 Vector Fab = CoulombForce(a, b, scale=Fscale, L="$F$");
  60 Vector Fba = CoulombForce(b, a, scale=Fscale, L="$F$");
  61
  62 r.draw();
  63 Fab.draw();
  64 Fba.draw();
  65 a.draw();
  66 b.draw();
  67 \end{asy}
  68 \end{center}
  69 The total charge on the both spheres is $Q = q_1 + q_2 = -6.0\U{nC}$.
  70 The spheres are identical, so at equilibrium, there will be $Q/2 =
  71 -3.0\U{nC}$ on each sphere.  The repulsive (since now they have the
  72 same charge sign) force between them is given by
  73 \begin{equation}
  74  F = k_e \frac{(Q/2)^2}{r^2}
  75    = 8.99\E{9}\U{N$\cdot$m$^2$/C$^2$} \left(\frac{-3.0\E{-9}\U{C}}{0.300\U{m}}\right)^2
  76    = \ans{8.99\E{-7}\U{N}}
  77 \end{equation}
  78 \end{solution}