latex/problems/Serway_and_Jewett_4/problem14.05.tex

   1 \begin{problem*}{14.5}
   2 Two traveling sinusoidal waves are described by the wave functions
   3 \begin{equation}
   4   y_1 = (5.00\U{m})\cdot\sin[\pi(4.00x-1200t)]
   5 \end{equation}
   6 and
   7 \begin{equation}
   8   y_2 = (5.00\U{m})\cdot\sin[\pi(4.00x-1200t-0.250)]
   9 \end{equation}
  10 where $x$, $y_1$, and $y_2$ are in meters and $t$ is in seconds.
  11 \Part{a} What is the amplitude of the resultant wave?
  12 \Part{b} What is the frequency of the resultant wave?
  13 \end{problem*} % problem 14.5
  14
  15 \begin{solution}
  16 \Part{a}
  17 \begin{equation}
  18   y = y_1 + y_2
  19     = 5.00\U{m}\cdot\p\{{\sin[\pi(4.00x-1200t)]+\sin[\pi(4.00x-1200t-0.250)}\}
  20     = 5.00\U{m}\cdot\p[{\sin(\theta)+\sin(\theta-\pi/4)}] \;,
  21 \end{equation}
  22 where $\theta\equiv\pi(4.00x-1200t)$.  So $y_2$ trails $y_1$ by
  23 $\pi/4=45\dg$.  In terms of the reference circle, that looks like
  24 \begin{center}
  25 \begin{asy}
  26 import Mechanics;
  27
  28 real u = 1.2cm;
  29 pair p = (u,0);
  30 pair q = rotate(-45)*p;
  31
  32
  33 draw(scale(u)*unitcircle, dotted);
  34
  35 Angle a = Angle(p, (0,0), q, radius=6mm, "$\pi/4$");
  36 a.draw();
  37 draw(p--(p+q), blue+dashed);
  38 draw(q--(p+q), red+dashed);
  39 draw((0,0)--p, red);
  40 draw((0,0)--q, blue);
  41 draw((0,0)--(p+q), green);
  42 dot(p);
  43 dot(q);
  44 dot(p+q);
  45 \end{asy}
  46 \end{center}
  47 The amplitude of $y$ is then given by vector addition
  48 \begin{equation}
  49   A = 2\cdot A\cos(\phi/2)
  50     = 2\cdot 5.00\U{m}\cdot\cos(\pi/8) = \ans{9.24\U{m}} \;,
  51 \end{equation}
  52 where $\phi=\pi/4$ is the phase difference between $y_1$ and $y_2$.
  53
  54 \Part{b}
  55 Both $y_1$ and $y_2$ rotate around the reference circle with a frequency of
  56 \begin{equation}
  57   f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1200\pi\U{rad/s}}{2\pi\U{rad/cycle}}
  58     = 600\U{Hz} \;,
  59 \end{equation}
  60 so $y$ must also rotate around the reference circle at $\ans{600\U{Hz}}$.
  61 \end{solution}