latex/problems/Serway_and_Jewett_4/problem13.27.tex

   1 \begin{problem*}{13.27}
   2 An ultrasonic tape measure uses frequencies above $20\U{MHz}$ to
   3 determine the dimensions of structures such as buildings.  It does so
   4 by emitting a pulse of ultrasound into the air and then measuring the
   5 time interval for an echo to return from a reflecting surface whose
   6 distance away is to be measured.  The distance is displayed as a
   7 digital readout.  For a tape measure that emits a pulse of ultrasound
   8 with a frequency of $22\U{MHz}$, \Part{a} what is the distance to an
   9 object from which the echo pulse returns after $24.0\U{ms}$ when the
  10 air temperature is $26\dg$? \Part{b} What should be the duration of
  11 the emitted pulse if it is to include ten cycles of the ultrasonic
  12 wave? \Part{c} What is the spatial length of such a pulse?
  13 \end{problem*}
  14
  15 \begin{solution}
  16 The speed of sound in dry air is approximately
  17 \begin{equation}
  18   v = 331\U{m/s} + 0.6\U{m/s$\cdot$\dg C}\;,
  19 \end{equation}
  20 so at $26\dg\text{C}$, $v = 347\U{m/s}$.
  21
  22 \Part{a}
  23 The elapsed time is the time taken for the pulse to travel from the
  24 tape measure to the object and back, traveling the distance between
  25 the tape measure and the object twice.
  26 \begin{align}
  27   2d &= vt  &  d &= \frac{vt}{2} = \ans{4.16\U{m}}
  28 \end{align}
  29
  30 \Part{b}
  31 A pulse containing ten cycles is ten periods long
  32 \begin{equation}
  33   \Delta t = 10T = \frac{10}{f} = \frac{10}{22\E{6}\U{s}} = \ans{0.455\U{$\mu$s}}
  34 \end{equation}
  35
  36 \Part{c}
  37 \begin{equation}
  38   L = v\Delta t = 347\U{m/s}\cdot0.455\U{$\mu$s} = \ans{0.158\U{mm}}
  39 \end{equation}
  40
  41
  42 \end{solution}