latex/problems/Serway_and_Jewett_4/problem13.07.tex

   1 \begin{problem*}{13.7}
   2 The string shown in Active Figure 13.8 is driven at a frequency of
   3 $5.00\U{Hz}$.  The amplitude of the motion is $12.0\U{cm}$ and the
   4 wave speed is $20.0\U{m/s}$.  Furthermore, the wave is such that $y=0$
   5 at $x=0$ and $t=0$.  Determine \Part{a} the angular frequency
   6 and \Part{b} wave number for this wave.  \Part{c} Write an expression
   7 for the wave function.  Calculate \Part{d} the maximum transverse
   8 speed and \Part{e} the maximum transverse acceleration of an element
   9 of the string.
  10 \end{problem*}
  11
  12 \begin{solution}
  13 \Part{a}
  14 This is just a unit conversion.
  15 \begin{align}
  16  \frac{rad}{s}&=\frac{2\pi\U{rad}}{\text{cycle}}\cdot\frac{\text{cycles}}{s} \\
  17  \omega &= 2\pi f = \ans{31.4\U{rad/s}}
  18 \end{align}
  19
  20 \Part{b}
  21 Another units conversion
  22 \begin{align}
  23   \frac{rad}{m} &= \frac{rad}{s} \cdot \frac{s}{m} \\
  24   k &= \frac{\omega}{v} = \ans{1.57\U{rad/m}}
  25 \end{align}
  26
  27 \Part{c}
  28 Now we get to plug in those values for $k$ and $\omega$.
  29 \begin{equation}
  30   y(x,t) = A \sin(kx-\omega t)
  31          = 12.0\U{cm}\cdot\sin(1.57\U{rad/m}\cdot x - 31.4\U{rad/s}\cdot t)
  32 \end{equation}
  33
  34 \Part{d}
  35 Differentiating with respect to time pulls out a chain-rule $\omega$.
  36 \begin{equation}
  37   \p({\pderiv{t}{y}})_\text{max} = A\omega = 12.0\U{cm}\cdot 31.4\U{1/s}
  38     = \ans{3.77\U{m/s}}
  39 \end{equation}
  40
  41 \Part{e}
  42 Differentiating again with respect to time pulls out another $\omega$.
  43 \begin{equation}
  44   \p({\npderiv{2}{t}{y}})_\text{max} = A\omega^2
  45     = 12.0\U{cm}\cdot (31.4\U{1/s})^2 = \ans{118\U{m/s$^2$}}
  46 \end{equation}
  47 \end{solution}