latex/problems/Serway_and_Jewett_4/problem12.05.tex

   1 \begin{problem*}{12.5}
   2 A particle moving along the $x$ axis in simple harmonic motion starts
   3 from its equilibrium position, the origin, at $t=0$ and moves to the
   4 right.  The amplitude of its motion is $2.00\U{cm}$ and the frequency
   5 is $1.50\U{Hz}$.  \Part{a} show that the position of the particle is
   6 given by
   7 \begin{equation}
   8   x = (2.00\U{cm}) \sin(3.00\pi t)
   9 \end{equation}
  10 Determine \Part{b} the maximum speed and the earliest time ($t > 0$)
  11 at which the particle has this speed, \Part{c} the maximum
  12 acceleration and the earliest time ($t > 0$) at which the particle has
  13 this acceleration, and \Part{d} the total distance traveled between
  14 $t=0$ and $t = 1.00\U{s}$.
  15 \end{problem*}
  16
  17 \begin{solution}
  18 \Part{a}
  19 Because $x(t=0) = 0$, we can express the motion
  20 \begin{equation}
  21   x(t) = A \sin(\omega t) \;.
  22 \end{equation}
  23 (this is Equation 12.6 with $\phi = -\pi/2$, because
  24 $\cos(\theta-\pi/2) = \sin(\theta)$.)
  25
  26 To find $A$, note that $\sin(\theta)$ increases as $\theta$ increases
  27 from $0$, so the particle's initially rightward motion requires $A >
  28 0$.  $|\sin(\theta)| \le 1$ so $|x| \le A$, and the amplitude is gives
  29 as $2.00\U{cm}$ so $A = 2.00\U{cm}$.
  30
  31 To find $\omega$, simply compute
  32 \begin{equation}
  33   \omega = 2\pi f = 2\pi\cdot1.50\U{Hz} = 3\pi\U{rad/s} \;.
  34 \end{equation}
  35
  36 Plugging our $A$ and $\omega$ into our $x(t)$ yields the equation of
  37 motion we set out to find.
  38
  39 \Part{b}
  40 To find the maximum speed, we could either take the derivative of
  41 $x(t)$ (like we did in 12.2), or realize that the derivative will have
  42 another factor of $\omega$ in it's amplitude and jump to the answer
  43 $v_\text{max}=A\omega=\ans{6\pi\U{cm/s}}$.
  44
  45 The maximum speed occurs when the position is zero.  Our particle
  46 starts at $x=0$, so it has maximum speed at $t = 0, T/2, T, 3T/2,
  47 \ldots$.  We're asked for the first occurence for $t>0$, so
  48 $t=T/2=1/2f=\ans{0.333\U{s}}$
  49
  50 \Part{c}
  51 To find the maximum acceleration, we could either take the derivative
  52 of $v(t)$ (like we did in 12.2), or realize that the derivative will
  53 have another factor of $\omega$ in it's amplitude compared to the
  54 velocity and jump to the answer
  55 $a_\text{max}=A\omega^2=\ans{18\pi^2\U{cm/s$^2$}}$.
  56
  57 The maximum acceleration occurs at the minimum position, because
  58 $F=ma=-kx$.  Our particle starts at $x=0$, so it at minimum extension
  59 at $t = 3T/4, 7T/4, \ldots$.  We're asked for the first
  60 occurence for $t>0$, so $t=3T/4=3/4f=\ans{0.500\U{s}}$
  61
  62 Note that in \Part{b} we were looking for the maximum scalar
  63 \emph{speed}, so the direction didn't matter, but in \Part{c} we were
  64 looking for the maximum vector \emph{acceleration}, so the direction
  65 did matter.
  66
  67 \Part{d}
  68 The period of our particle is $T = 1/f = 2/3 \U{s}$.  $t = 1.00\U{s} =
  69 1.5T$.  That means it travels $0 \rightarrow A \rightarrow -A
  70 \rightarrow A \rightarrow 0$, for a grand total of
  71 $d=A+2A+2A+A=6A=12.0\U{cm}$.
  72 \end{solution}