latex/problems/Serway_and_Jewett_4/problem11.37.tex

   1 \begin{problem*}{11.37}
   2 Four possible transitions for a hydrogen atom are as follows:
   3 \begin{center}
   4 \begin{tabular}{l l c l l}
   5   (i)   & $n_i=2$; $n_f=5$ && (ii) & $n_i=5$; $n_f=3$ \\
   6   (iii) & $n_i=7$; $n_f=4$ && (iv) & $n_i=4$; $n_f=7$
   7 \end{tabular}
   8 \end{center}
   9 \Part{a} In which transition is light of the shortest wavelength emitted?
  10 \Part{b} In which transition does the atom gain the most energy?
  11 \Part{c} In which transition(s) does the atom lose energy?
  12 \end{problem*} % problem 11.37
  13
  14 \begin{solution}
  15 \Part{a}
  16 Looking at the sized of the changes in $n$, we have
  17 \begin{center}
  18 \begin{tabular}{l l c l l}
  19   (i)   & $\Delta n=3$ && (ii) & $\Delta n=-2$ \\
  20   (iii) & $\Delta n=-3$ && (iv) & $\Delta n=3$
  21 \end{tabular}
  22 \end{center}
  23 We know we want to release energy, so we need $\Delta n < 0$ (relaxing
  24 from a more excited state).  That leaves (ii) and (iii).  We have to
  25 crunch some numbers for this, since each case has a point in its
  26 favor: (iii) jumps more levels, but (ii) is closer in, where the
  27 levels are further apart.
  28 \begin{align}
  29   E_{ii} &= A \p({\frac{1}{5^2}-\frac{1}{3^2}}) = -71\E{-3}\cdot A \\
  30   E_{iii} &= A \p({\frac{1}{7^2}-\frac{1}{4^2}}) = -42\E{-3}\cdot A \;,
  31 \end{align}
  32 so \ans{(ii)} releases the most energy.  Note that
  33 $A=hcR_H=13.6\U{eV}$, but it's actual value doesn't matter because it
  34 is a constant value for hydrogen.
  35
  36 \Part{b}
  37 Now we need to compare (i) and (iv), but this is easier, since they
  38 both increase by three levels, but (i) starts closer in (where the
  39 levels are further apart).  Therefore, \ans{(i)} will gain the most
  40 energy.
  41
  42 \Part{c}
  43 The atom loses energy in \ans{(ii)} and \ans{(iii)} as mentioned
  44 in \Part{a}.
  45 \end{solution}