latex/problems/Serway_and_Jewett_4/problem10.44.tex

   1 \begin{problem*}{10.44}
   2 A space station is constructed in the shape of a hollow ring of mass
   3 $m = 5.00\E{4}\U{kg}$.  Members of the crew walk on a deck formed by
   4 the inner surface of the outer cylindrical wall of the ring, with a
   5 radius of $r = 100\U{m}$.  At rest when constructed, the ring is set
   6 rotating about its axis so that the people inside experience an
   7 effective free-fall acceleration equal to $g$.  The rotation is
   8 achieved by firing two small rockets attached tangentially at opposite
   9 points on the outside of the ring.
  10 \Part{a} What angular momentum does the space station acquire?
  11 \Part{b} How long must the rockets be fired if each exerts a thrust
  12 of $F = 125\U{N}$?
  13 \Part{c} Prove that the total torque on the ring, multiplied by the
  14 the time interval found in \Part{b}, is equal to the change in angular
  15 momentum found in \Part{a}.  This equality represents the
  16 \emph{angular impulse-angular momentum theorem}.
  17 \end{problem*} % problem 10.44
  18
  19 \begin{solution}
  20 \Part{a}
  21 The certerward acceleration of people on the wall of the space station
  22 is given by
  23 \begin{align}
  24  g = a_c &= \frac{v^2}{r} = r \omega^2 \\
  25  \omega &= \sqrt{\frac{g}{r}}
  26 \end{align}
  27 Where we used $v = r\omega$ to replace the linear velocity $v$.  The
  28 moment of inertia of a ring is given by $I = mr^2$ from table 10.2 on
  29 page 300.  The angular momentum is then given by
  30 \begin{equation}
  31  L = I \omega = m r^2 \sqrt{\frac{g}{r}} = \ans{m r \sqrt{gr}} = \ans{1.57\E{8}\U{Js}}
  32 \end{equation}
  33
  34 \Part{b}
  35 The torque on the station is given by
  36 \begin{align}
  37  \sum \tau &= 2 \cdot r \cdot F = I \alpha = m r^2 \alpha\\
  38   \alpha &= \frac{2 F}{m r}
  39 \end{align}
  40 Going back to our constant acceleration equations, we see that
  41 \begin{align}
  42  \omega &= \alpha t + \omega_0 = \alpha t \\
  43   t &= \frac{\omega}{\alpha} = \sqrt{\frac{g}{r}} \cdot \frac{m r}{2 F} = \sqrt{g r} \frac{m}{2F}
  44      = \sqrt{ 9.80\U{m/s}^2 \cdot 100\U{m}} \frac{5\E{4}\U{kg}}{2 \cdot 125\U{N}}
  45      = \ans{ 6.26\U{ks} = 1.74\U{hr} }
  46 \end{align}
  47
  48 \Part{c}
  49 \begin{align}
  50  \tau t &= I \alpha t = I \omega = L \\
  51  2 r F t &= 2 \cdot 100\U{m} \cdot 125\U{N} \cdot 6.26\E{3}\U{s}
  52           = 1.57\E{8}\U{Js} = L
  53 \end{align}
  54 So they are equal both symbolically and numerically which means I
  55 probably didn't make any algebra mistakes (we can hope).
  56 \end{solution}