latex/problems/Serway_and_Jewett_4/problem09.22.tex

   1 \begin{problem*}{9.22}
   2 A spacecraft is launched from the surface of the Earth with a velocity
   3 of $0.600\U{c}$ at an angle of $50.0\dg$ above the horizontal positive
   4 $x$ axis.  Another spacecraft is moving past with a velocity of
   5 $0.700c$ in the negative $x$ direction.  Determine the magnitude and
   6 direction of the velocity of the first spacecraft as measured by the
   7 pilot of the second spacecraft.
   8 \end{problem*} % problem 9.22
   9
  10 \begin{solution}
  11 The Lorentz transformations
  12 \begin{align}
  13   t' &= \gamma \p({t - v x/c^2}) \\
  14   x' &= \gamma \p({x - v t}) \\
  15   y' &= y
  16 \end{align}
  17 yield the velocity transformations
  18 \begin{align}
  19   u_x' &= \pderiv{t'}{x'}
  20     = \frac{\gamma\p({\partial x - v \partial t})}{\gamma\p({\partial t - v \partial x/c^2})}
  21     = \frac{\pderiv{x}{t} - v}{1 - v \pderiv{t}{x}/c^2}
  22     = \frac{u_x - v}{1 - v u_x/c^2} \\
  23   u_y' &= \pderiv{t'}{y'}
  24     = \frac{\partial y}{\gamma\p({\partial t - v \partial x/c^2})}
  25     = \frac{\pderiv{t}{y}}{\gamma\p({1 - v \pderiv{t}{x}/c^2})}
  26     = \frac{u_y}{\gamma\p({1 - v u_x/c^2})} \\
  27 \end{align}
  28
  29 We can use these velocity transformations on our spacecraft's velocity.
  30 \begin{align}
  31   \gamma &= \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}
  32     = \frac{1}{\sqrt{1-(-0.700)^2}} = 1.40 \\
  33   u_x &= 0.600c\cos(50.0\dg) = 0.386c \\
  34   u_y &= 0.600c\sin(50.0\dg) = 0.460c \\
  35   u_x' &= \frac{u_x - v}{1 - vu_x/c^2}
  36     = \frac{0.321c + 0.700c}{1 + 0.700\cdot0.321}
  37     = 0.855c \\
  38   u_y' &= \frac{u_y}{\gamma(1 - vu_x/c^2)}
  39     = \frac{0.383c}{1.40\cdot(1 + 0.700\cdot0.321)}
  40     = 0.258c \\
  41   u' &= \sqrt{u_x'^2 + u_y'^2}
  42     = \ans{0.893c} \\
  43   \theta' &= \arctan(u_y'/u_x')
  44     = \ans{16.8\dg}
  45 \end{align}
  46 \end{solution}