latex/problems/Serway_and_Jewett_4/problem08.43.tex

   1 \begin{problem*}{8.43}
   2 A rocket for use in deep space is to be capable of boosting a total
   3 load (payload plus rocket frame and engine) of $M_f = 3.00\U{metric
   4  tons}$ to a speed of $v_f = 10.0\U{km/s}$.
   5 \Part{a} It has an engine and fuel designed to produce an exhaust
   6 speed of $v_{ea} = 2.000\U{km/s}$.  How much fule plus oxidizer is
   7 required?
   8 \Part{b} If a different fuel and engine design could give an exhaust
   9 speed of $v_{eb} = 5.000\U{km/s}$, what amount of fuel and oxidizer
  10 would be required for the same task?
  11 \end{problem*}
  12
  13 \begin{solution}
  14 \Part{a}
  15 Starting with equation 8.43 from page 248, and letting $M_e = M_i -
  16 M_f$ be the mass of the fuel and oxidizer
  17 \begin{align}
  18  v_f - v_i &= v_e \ln \left(\frac{M_i}{M_f}\right) \\
  19  M_i &= M_f \exp^{\frac{v_f - v_i}{v_e}} \\
  20  M_e &= M_f \left(\exp^{\frac{v_f - v_i}{v_e}} - 1 \right) \label{43.M_e} \\
  21      &= 3.00\U{metric tons} \left(\exp^{\frac{10}{2}} - 1\right)
  22       = \ans{ 442\U{metric tons}}
  23 \end{align}
  24
  25 \Part{b}
  26 Using eqn. \ref{43.M_e} with our new exhaust velocity,
  27 \begin{align}
  28  M_e &= 3.00\U{metric tons} \left(\exp^{\frac{10}{5}} - 1\right)
  29       = \ans{ 19.2\U{metric tons}}
  30 \end{align}
  31 \end{solution}