latex/problems/Serway_and_Jewett_4/problem08.25.tex

   1 \begin{problem*}{8.25}
   2 Two shuffleboard disks of equal mass, one orange and the other yellow,
   3 are involved in an elastic, glancing collision.  The yellow disk is
   4 initially at rest and is struck by the orange disk moving with a speed
   5 $v_i$.  After the collision, the orange disk moves along a direction
   6 that makes an angle $\theta$ with its initial direction of motion.
   7 The velocities of the two disks are perpendicular after the collision.
   8 Determine the final speed of each disk.
   9 \end{problem*}
  10
  11 \begin{solution}
  12 Let the final speed of the orange disk be $v_o$, the final speed of
  13 the yellow disk be $v_y$, and $m$ be the mass of one disk.  Calling
  14 the initial direction of the orange disk \ihat, and the direction
  15 perpendicular to that \jhat\ (such that the final direction of
  16 $\vect{v}_o$ has positive components in both directions), we see
  17 \begin{align}
  18  v_{o\ihat} &= v_o \cos\theta \\
  19  v_{o\jhat} &= v_o \sin\theta
  20 \end{align}
  21 For the orange puck, and that since the motion of the yellow is
  22 perpendicular the the orange, the angle between the final motion of
  23 the yellow and the $-\jhat$ direction is also $\theta$, so
  24 \begin{align}
  25  v_{y\ihat} &= v_y \sin\theta \\
  26  v_{y\jhat} &= -v_y \cos\theta
  27 \end{align}
  28
  29 Conserving momentum in both directions we have
  30 \begin{align}
  31  P_{i\jhat} = 0 &= P_{f\jhat} = m v_{y\jhat} + m v_{o\jhat} = m v_o \sin\theta - m v_y\cos\theta \\
  32   v_y &= v_o \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\\
  33  P_{i\ihat} = m v_i &= P_{f\ihat} = m v_{y\ihat} + m v_{o\ihat} = m v_o \cos\theta + m v_y \sin\theta \\
  34   v_i \cos\theta &= v_o \cos^2 \theta + \left(v_o \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\right)\sin\theta\cos\theta
  35                   = v_o \cos^2 \theta + v_o \sin^2 \theta
  36                   = v_o
  37 \end{align}
  38 Because
  39 \begin{equation}
  40  \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1
  41 \end{equation}
  42 So
  43 \begin{align}
  44  v_o &= \ans{v_i \cos\theta} \\
  45  v_y &= v_o \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \ans{v_i \sin\theta}
  46 \end{align}
  47 \end{solution}