latex/problems/Serway_and_Jewett_4/problem07.28.tex

   1 \begin{problem*}{7.28}
   2 An $m_1 = 50.0\U{kg}$ block and an $m_2 = 100\U{kg}$ block connected by a string as shown in Figure P7.28.
   3 The pulley is frictionless and of negligible mass.
   4 The coefficient of kinetic friction between $m_1$ and the incline is $\mu = 0.250$.
   5 The incline is at an angle of $\theta = 37.0\dg$ from the horizontal.
   6 Determine the change in the kinetic energy of $m_1$ as it moces from point $A$ to point $B$, a distance of $d = 20.0\U{m}$.
   7 \end{problem*} % problem 7.28
   8
   9 \begin{solution}
  10 Again, we use conservation of energy.  Defining our gravitational
  11 potential energy to be zero at $A$ we have
  12 \begin{equation}
  13  E_A + W_f = K_{1A} + K_{2A} + W_f = E_B = K_{1B} + K_{2B} + U_{g1B} + U_{g2B}
  14 \end{equation}
  15 The blocks are tied together, so they must have the same velocity
  16 (since the string remains taught).  So the change in velocity $v$ is
  17 given by
  18 \begin{align}
  19  \frac{1}{2}(m_1 + m_2) v_A^2 - F_f d &= \frac{1}{2}(m_1 + m_2) v_B^2 + m_1 g d \sin \theta - m_2 g d \\
  20  \Delta(v^2) = v_B^2 - v_A^2 &= \frac{2}{m_1+m_2} \cdot \left[ gd \cdot (m_2 - m_1 \sin\theta) - F_f d \right] \\
  21 \end{align}
  22 So the change in kinetic enery of $m_1$ is given by
  23 \begin{equation}
  24  \Delta(K_1) = \frac{d m_1}{m_1+m_2} \cdot \left[ g (m_2 - m_1 \sin\theta) - F_f \right]
  25 \end{equation}
  26
  27 We still need to find the force of fiction, which we do by
  28 constructing a free body diagram of $m_1$.  We see that the forces on
  29 $m_1$ are friction $\vect{F}_f$, tension \vect{T}, normal
  30 $\vect{F}_N$, and gravitational $\vect{F}_{g1}$.  Summing the forces
  31 in the direction perpendicular to the incline (\vect{y}), we have
  32 \begin{align}
  33  \sum F_y &= F_N - F_{g1} \cos \theta = 0 \\
  34  F_N &= m_1 g \cos\theta
  35 \end{align}
  36 The block is always sliding so $F_f = \mu F_N = \mu m_1 g \cos\theta$.
  37 Plugging this into our equation for $\Delta(K_1)$ we have
  38 \begin{align}
  39  \Delta(K_1) &= \frac{d g m_1}{m_1+m_2} \cdot \left( m_2 - m_1 \sin\theta - \mu m_1 \cos \theta \right) \\
  40              &= \frac{20.0\U{m} \cdot 9.8\U{m/s}^2 \cdot 50.0\U{kg}}{150\U{kg}} \cdot \left[ 100\U{kg} - 50\U{kg}( \sin 27.0\dg - 0.250 \cos 27.0\dg ) \right] \\
  41              &= \ans{5.78\U{kJ}}
  42 \end{align}
  43 \end{solution}