latex/problems/Serway_and_Jewett_4/problem06.30.tex

   1 \begin{problem*}{6.30}
   2 An $m = 2.00\U{kg}$ block is attached to a spring of force constant $k
   3 = 500\U{N/m}$ as shown in Active Figure 6.8 on page 164.  The block is
   4 pulled $A = 5.00\U{cm}$ to the right of equilibrium and released from
   5 rest.  Find the speed the block has as it passes through equilibrium
   6 if
   7 \Part{a} the horizontal surface is frictionless and
   8 \Part{b} the coefficient of friction between block and surface is
   9 $\mu = 0.350$.
  10 \end{problem*} % problem 6.30
  11
  12 \begin{solution}
  13 For both cases we will use conservation of energy.  Call the point
  14 where the block is released $P_0$ and the point where the block passes
  15 through equilibrium $P_1$.  At $P_0$, the block has spring potential
  16 energy $U_{s0} = 1/2\cdot k A^2$ and no kinetic or gravitational
  17 potential energy.  At $P_1$, the block has kinetic energy $K_1 =
  18 1/2\cdot m v^2$ and no potential energy.
  19
  20 \Part{a}
  21 Without friction, the energy at $P_1$ is the same as that at $P_0$
  22 because there is no energy lost to friction.
  23 So
  24 \begin{align}
  25  P_0 = P_1
  26  \frac{1}{2} k A^2 &= \frac{1}{2} m v^2 \\
  27  v &= A \sqrt{\frac{k}{m}}
  28     = 5\U{cm} \sqrt{\frac{500\U{kg/s}^2}{2\U{kg}}}
  29     = \ans{79.1\U{cm/s}}
  30 \end{align}
  31
  32 \Part{b}
  33 With friction, part of the initial energy $P_0$ bleeds out into internal
  34 heat energy.
  35 The work done by friction is given by
  36 \begin{equation}
  37  W_f = \vect{F} \cdot \vect{\Delta x}
  38 \end{equation}
  39 Because the block is sliding the whole way in, the frictional force is
  40 always maxed out at the constant
  41 \begin{equation}
  42  F_f = \mu F_N = \mu mg
  43 \end{equation}
  44 In the direction opposite to the motion.
  45 So friction from the table does
  46 \begin{equation}
  47  W_f = -F_f A = -\mu mgA
  48 \end{equation}
  49 Where the negative sign denotes the frictional force sucking energy
  50 from the block.
  51
  52 Knowing the frictional work, the velocity at the equilibrium position
  53 is given by
  54 \begin{align}
  55  E_0 + W_f &= U_{s0} + W_f = E_1 = K_1 \\
  56  \frac{1}{2} k A^2 - \mu mgA &= \frac{1}{2} m v^2\\
  57  m v^2 &= k A^2 - 2 \mu mgA \\
  58  v &= \sqrt{ \frac{k}{m} A^2 - 2 \mu g A} \\
  59    &= \sqrt{ \frac{500\U{kg/s}^2}{2\U{kg}} (0.05\U{m})^2
  60              - 2 \cdot 0.35 \cdot 9.8\U{m/s}^2 \cdot 0.05\U{m}} \\
  61    &= \ans{0.531\U{m/s}}
  62 \end{align}
  63
  64 What I was doing for \Part{b} in class on Wednesday was more
  65 complicated because I had misread the question.  I thought it was
  66 asking us to find the \emph{maximum} speed, when it just asks for the
  67 speed at equilibrium.  Figuring out when the maximum speed occurs
  68 requires more knowledge of differential equations than you guys are
  69 responsible for.
  70 \end{solution}