latex/problems/Serway_and_Jewett_4/problem04.51.tex

   1 \begin{problem*}{4.51}
   2 If you jump from a desktop and land stiff-legged on a concrete floor,
   3 you run a significant rist that you will break a leg.  To see how that
   4 happens, consider the average force stopping your body when you drop
   5 from rest from a height of $h = 1.00\U{m}$ and stop in a much shorter
   6 distance $d$.  Your leg is likely to break at the point where the
   7 cross-sectional area of the tibia is smallest.  This point is just
   8 above the anke, where the cross sectional area of one bone is about $A
   9 = 1.60\U{cm}^2$.  A bone will fracture when the compressive stress on
  10 it exceeds about $\sigma_b = 1.60\E{8}\U{N/m}^2$.  If you land on both
  11 legs, the maximum force $F_{max}$ that your ankles can safely exert on
  12 the rest of your body is then about
  13 \begin{equation}
  14  F_{max} = 2 F_b = 2 \sigma_b A = 5.12\E{4}\U{N}
  15 \end{equation}
  16 Calculate the minimum stopping distance $d$ that will not result in a
  17  broken leg if your mass is $m = 60.0\U{kg}$.
  18 \end{problem*} % problem 4.51
  19
  20 \begin{solution}
  21 The problem breaks down into two constant-acceleration problems.
  22 Call the top of the desk dropping-off-point $P_0$, the point of maximum
  23 velocity when you are just starting to contact the floor $P_1$, and the
  24 point where your shoe soles have compressed a distance $d$ and brought
  25 you back to rest $P_2$.
  26
  27 First consider the constant acceleration portion from $P_0$ to $P_1$.
  28 Your final velocity $v_1$ is given by
  29 \begin{equation}
  30  v_1^2 = v_0^2 + 2 a_{01} \Delta y_{01}
  31        = 2 a_{01} \Delta y_{01}
  32 \end{equation}
  33 Now applying the same equation to
  34  the second constant acceleration portion from $P_1$ to $P_2$.
  35 \begin{align}
  36  v_2^2 &= v_1^2 + 2 a_{12} \Delta y_{12} = 0 \\
  37  v_1^2 &= -2 a_{12} \Delta y_{12} = 2 a_{01} \Delta y_{01} \\
  38  d &= \Delta y_{12} = -\frac{a_{01}}{a_{12}} \Delta y_{01}
  39 \end{align}
  40 The acceleration $a_{12}$ is given by Newton's second law
  41 (picking down as the $+\vect{x}$ direction)
  42 \begin{align}
  43  \sum F_x &= m a_{12x} \\
  44   a_{12x} &= (\sum F_x)/m
  45         = \frac{mg - F_{max}}{m}
  46         = g - \frac{F_{max}}{m}
  47 \end{align}
  48 (I forgot to include $mg$ in the sum of the forces when I was doing
  49 the problem, so I didn't take off points if you forgot it as well.)
  50 So
  51 \begin{align}
  52  d &= -\frac{a_{01}}{a_{12}} \Delta y_{01}
  53     = -\frac{g}{g - \frac{F_{max}}{m}} h
  54     = -\frac{1}{1 - \frac{F_{max}}{mg}} h \\
  55    &= -\frac{1}{1 - \frac{5.12\E{4}}{60 \cdot 9.8}} \cdot 1.00\U{m}
  56     = \ans{1.16\U{cm}}
  57 \end{align}
  58
  59 (Ignoring gravity in your sum of forces, you would have gotten
  60  $d = \frac{mg}{F_{max}} h = 1.15\U{cm}$.
  61 The correction is very small because $F_{max} \gg mg$.)
  62 \end{solution}