latex/problems/Serway_and_Jewett_4/problem04.24.tex

   1 \begin{problem*}{4.24}
   2 Fig. P4.24 shows loads hanging from the ceiling of an elecator that is
   3 moving at a constant velocity.  Find the tension in each of the three
   4 strands of cord supporting each load.
   5 \end{problem*} % problem 4.24
   6
   7 \begin{solution}
   8 First, we need to understand the effect of the elevator.
   9 It is moving at a constant {\it velocity} so we know that
  10 the acceleration $\vect{a}$ of all the elements must be $0$.
  11 So the elevator's constant motion has no effect on the tensions.
  12
  13 \Part{a}
  14 Let $m = 5.00\U{kg}$ be the mass of the ball,
  15  $\theta_1 = 40.0^o$ be the angle between $\vect{T}_1$ and the horizontal,
  16  and $theta_2 = 50.0^o$ be the angle between $\vect{T}_2$ and the horizontal.
  17 Following identical reasoning to Problem 22 \Part{a}, we know
  18 that the tension
  19  $T_3 = mg = 5.00\U{kg} \cdot 9.8\U{m/s}^2 = \ans{49\U{N}}$.
  20
  21 Now looking at the knot where the three cords come together.
  22 There are three forces acting on the knot: $T_1$, $T_2$, and $T_3$.
  23 Letting the upwards direction be $+\vect{x}$
  24  and the rightwards direction be $+\vect{y}$ we can break our tensions
  25 into components
  26 \begin{align}
  27  T_{1x} &= -T_1 \cos \theta_1 \\
  28  T_{1y} &=  T_1 \sin \theta_1 \\
  29  T_{2x} &=  T_2 \cos \theta_2 \\
  30  T_{2y} &=  T_2 \sin \theta_2 \\
  31  T_{3x} &=  0\U{N} \\
  32  T_{3y} &= -mg
  33 \end{align}
  34 Now summing the forces on the knot we have
  35 \begin{align}
  36  \sum F_x &= T_{3x} + T_{2x} + T_{1x}
  37            = 0 + T_2 \cos \theta_2 - T_1 \cos \theta_1 \\
  38           &= m_k a_{kx} = 0 \\
  39       T_2 &= T_1 \frac{\cos \theta_1}{\cos \theta_2} \\
  40  \sum F_y &= T_{3y} + T_{2y} + T_{1y}
  41            = -mg + T_2 \sin \theta_2 + T_1 \sin \theta_1 \\
  42       T_2 &= \frac{mg - T_1 \sin \theta_1}{\sin \theta_2}
  43            = T_1 \frac{\cos \theta_1}{\cos \theta_2} \\
  44  \frac{mg}{\cos \theta_1} - T_1 \frac{sin \theta_1}{\cos \theta_1}
  45           &= T_1 \frac{\sin \theta_2}{\cos \theta_2} \\
  46       T_1 (\tan \theta_1 + \tan \theta_2) &= \frac{mg}{\cos \theta_1} \\
  47       T_1 &= \frac{mg}{\cos \theta_1 (\tan \theta_1 + \tan\theta_2)}
  48            = \frac{49\U{N}}{\cos 40^o (\tan 40^o + \tan 50^o)}
  49            = \ans{31.5\U{N}} \\
  50       T_2 &= T_1 \frac{\cos \theta_1}{\cos \theta_2}
  51            = \frac{mg}{\cos \theta_2 (\tan \theta_1 + \tan\theta_2)}
  52            = \frac{49\U{N}}{\cos 50^o (\tan 40^o + \tan 50^o)}
  53            = \ans{37.5\U{N}}
  54 \end{align}
  55
  56 \Part{b}
  57 The only changes from \Part{a} are
  58  $m = 10\U{kg}$, $\theta_1 = 60.0^o$, and $\theta_2 = 0^o$.
  59 Plugging the new values into our symbolic equation from \Part{a}:
  60 \begin{align}
  61  T_3 &= mg = 10.0\U{kg} \cdot 9.8\U{m/s}^2 = \ans{98\U{N}} \\
  62  T_1 &= \frac{mg}{\cos \theta_1 (\tan \theta_1 + \tan\theta_2)}
  63       = \frac{98\U{N}}{\cos 60^o (\tan 60^o + \tan 0^o)}
  64       = \ans{113\U{N}} \\
  65  T_2 &= T_1 \frac{\cos \theta_1}{\cos \theta_2}
  66       = \frac{mg}{\cos \theta_2 (\tan \theta_1 + \tan\theta_2)}
  67       = \frac{98\U{N}}{\cos 0^o (\tan 60^o + \tan 0^o)}
  68       = \ans{56.6\U{N}}
  69 \end{align}
  70 \end{solution}