latex/problems/Serway_and_Jewett_4/problem04.08.tex

   1 \begin{problem*}{4.8}
   2 Three forces, given by
   3  $\vect{F}_1 = (-2.00\vect{i} + 2.00\vect{j})\U{N}$,
   4  $\vect{F}_2 = ( 5.00\vect{i} - 3.00\vect{j})\U{N}$, and
   5  $\vect{F}_3 =  -45.0\vect{i}\U{N}$,
   6  act on an object to give it an acceleration of magnitude
   7  $a = 3.75\U{m/s}^2$
   8  \Part{a} What is the direction of the acceleration?
   9  \Part{b} What is the mass of the object?
  10  \Part{c} If the object is initially at rest, what is its speed $v$
  11   after $t = 10.0\U{s}$?
  12  \Part{d} What are the velocity components of the object after
  13   $t = 10.0\U{s}$?
  14 \end{problem*} % problem 4.8
  15
  16 \begin{solution}
  17 \Part{a}
  18 Summing the forces we have
  19 \begin{align}
  20  \sum F_x &= F_1x + F_2x + F_3x = (-2.00 + 5.00 - 45.0)\U{N} = -42.0\U{N} \\
  21  \sum F_y &= F_1y + F_2y + F_3y = (+2.00 - 3.00 + 0)\U{N} = -1.00\U{N}
  22 \end{align}
  23 We know from Newtons second law that
  24 \begin{equation}
  25  \sum \vect{F} = m \vect{a}
  26 \end{equation}
  27 So the acceleration $\vect{a}$ will be in the same direction as the
  28 force $\vect{F}$.
  29 The direction $\theta$ of the force is given by
  30 \begin{equation}
  31  \theta = \arctan \left( \frac{F_y}{F_x} \right)
  32         = \arctan \left( \frac{-1}{-42} \right)
  33         = (1.36 + 180)^o = \ans{181.36^o}
  34 \end{equation}
  35 Measured counter-clockwise from the $\vect{x}$ axis
  36  (where we have added $180^o$ because $F_x < 0$ so we have a backside
  37   $\arctan$).
  38
  39 \Part{b}
  40 From Newton's second law
  41 \begin{align}
  42  \sum \vect{F} &= m \vect{a} \\
  43  \left|\sum \vect{F}\right| &= m \left|\vect{a}\right| \\
  44  m &= \frac{\left|\sum \vect{F}\right|}{a}
  45     = \frac{ \sqrt{(-41.0)^2 + (-1.00)^2}\U{N}}{3.75\U{m/s}^2}
  46     = \ans{11.2\U{kg}}
  47 \end{align}
  48
  49 \Part{c}
  50 This section is constant acceleration review.
  51 \begin{equation}
  52  v = a t + v_0
  53    = 3.75\U{m/s}^2 \cdot 10.0\U{s} = \ans{37.5\U{m/s}}
  54 \end{equation}
  55
  56 \Part{d}
  57 Using our velocity $v = |\vect{v}|$ from \Part{c} and our angle
  58  $\theta$ from \Part{a} (we know that $\vect{v}$ is in the same
  59 direction as $\vect{a}$ and $\vect{F}$) we have
  60 \begin{align}
  61  v_x &= v \cos \theta = 37.5\U{m/s} \cdot \cos 181.36^o
  62       = -37.49\U{m/s} \\
  63  v_y &= v \sin \theta = 37.5\U{m/s} \cdot \sin 181.36^o
  64       = -0.893\U{m/s} \\
  65  \vect{v} &= \ans{(-37.49\vect{i} - 0.893\vect{j})\U{m/s}}
  66 \end{align}
  67 \end{solution}